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S . Grosser, О. Loos und M. Moskowitz:

Si / { G I M) bezeichnet. Nach (a) hat ^* die Eigenschaft {ST). Da M kompakt ist, hat auch âf, das kanonische Bild von ^ in s/{M\ ebenfalls die schaft (ST). Auf Grund von Lemma (1.1) ist der Beweis vollständig.

Wir zitieren nun den zuerst in [4, Theorem 4.1] hergeleiteten Ascoli-Satz für Automorphismengruppen, der es einem gestattet, die „klassischen" paktheitsbedingungen in topologischen Gruppen ([4, 5]) unter einer lichen Perspektive zusammenzufassen. Ohne Details anzugeben, skizzieren wir einen etwas verbesserten Beweis.

( 1 . 7 ) Satz. Die abgeschlossene Hülle einer Untergruppe ai der Automorphis- mengruppe s/{G) ist dann und nur dann kompakt, wenn das Folgende gilt:

( a ) Jedes Element von G hat eine präkompakte ^-Bahn.

( b ) G hat kleine ^-invariante e-Umgebungen.

Der Beweis der Notwendigkeit der Bedingungen (a) und (b) werde wie in [4] geführt. Zum Beweis der Hinlänglichkeit verwende man Teil (a) von Satz (1.6) sowie das folgende Lemma, das wir ohne Beweis zitieren.

( 1 . 8 ) Sei ^~ die abgeschlossene Hülle von ^ im Raum G^ aller Funktionen G->G in der punkt-offenen Topologie. Falls Bedingungen (a) und (b) von (1.7) gelten, ist âS'^ kompakt, ist in s/{G) enthalten, und ist eine Untergruppe von s^{G). Ferner ist ^~ = J^".

Im folgenden beschäftigen wir uns mit Anwendungen dieses Satzes. Das nächste Resultat verallgemeinert das Hauptergebnis von Goto und Nomizu [3], das dort ohne Beweis mitgeteilt wird.

( 1 . 9 ) Korollar. Falls G/Gq kompakt ist und G kleine j^ {Gyinvariante e- Umgebungen besitzt, sind sowohl G als auch s/{G) kompakt.

Beweis . Insbesondere hat G kleine y(G)-invariante ^-Umgebungen. Da außerdem G/Gq kompakt ist, gilt der Struktursatz [5, Theorem (2.9)] G = Vx^K, Feine Vektorgruppe, К eine kompakte Gruppe und rj: K-^Ä{V) ein stetiger Homomorphismus; d.h., G ist ein semidirektes Produkt von Kund K, F normal. Sei <t€GL{V) und werde a^: G-> G durch ot^iv, k) = {a{v) k) niert. Da a^ = CT X idj^ (Produktabbildung), ist a^ ein Homöomorphismus. Ferner gilt oi,{v,k)oc,(v,,k,) = {a(v),k){a{v,),k,) = {(T{v) + riik)(j{v,lkk,) und cc,({v,kl (t;i,/cO) = a^(î;4-^(i^)(t;i),/cfei) = (fT(t^ + ^(fc)(î^i))^^ Es folgt daraus, daß a^ dann und nur dann ein Homomorphismus ist, wenn (jorj{k) = r}{k)oG für alle kin К gilt; d. h., dann und nur dann, wenn а zum Zentralisator ^ von rj{K) in GUV) gehört. Sei aä die Menge aller a in s/{G) von der Form a = a^ für a in С Man sieht ohne Mühe, daß âS eine Untergruppe von j/(G) ist. Da G kleine J- invariante ^-Umgebungen besitzt, folgt wegen (Tori(k) = fj{k)o(T aus dem gen, daß F kleine <^-invariante ^-Umgebungen besitzt. Gemäß [5, Proposition (2.7)] folgt, daß ^ präkompakt, d, h., beschränkt, ist. Andererseits enthält ^ das Zentrum von GL(V); da letzteres aus Vielfachen des Einsoperators besteht, ergibt sich ein Widerspruch. Also ist F= {e}, und G ist kompakt. Dann folgt aus (1.7), daß j/(G) ebenfalls kompakt ist.