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s Grosser О Loos und M Moskowitz

gekehrt Es folgt die Quotientengruppe aller Derivationen von G nach den inneren Derivationen ist isomorph zur ersten Kohomologiegruppe Hl (G, (5) im Sinne von Hochschild-Mostow ([9])

( 3 . 4 ) Lemma. Jede Derivation ist ein vollständiges Vektorfeld

Beweis Es sei V der durch Vx-Y^=0 definierte Imksmvariante affine Zusammenhang auf G (s etwa [6]) Wir zeigen, daß jede Derivation D eine infinitesimale affine Transformation dieses Zusammenhanges ist Dann folgt die Vollständigkeit von D aus der von V (s etwa [13]) Nun ist D eine tesimale affine Transformation genau dann, wenn

F { U , V) = [Д V^ F] - V^ [D, K] - V.j, Щ V= 0

fur alle Vektorfelder (7, Kauf G gilt Da F(/C/, V) = F{UJV)=fF{U, V) fur jede differenzierbare Funktion/auf G gilt, genügt es, U und Fais Imksmvariant anzunehmen, und dann folgt die Behauptung aus der Tatsache, daß [D, Щ wieder Imksmvariant ist

( 3 . 5 ) Korollar. Ist G zusammenhangend, so ist die Abbildung Dh^ D"^ injektw Aus (3 2), (3 4) und [19] folgt nun

( 3 . 6 ) Satz. Die Derivationsalgebra D der Lie-Gruppe G sei endlichdimensw- nal Dann besitzt die Automorphismengruppe ja/(G) von G genau eine Lie- Gruppenstruktur derart, daß sé{G) eine Lie-Transformationsgruppe von G ist und die Lie-Algebra von j/(G) isomorph zu Ъ ist

Wir nennen die durch (3 6) gegebene Topologie von ^(G) die Lie-Topo- logie Die Frage nach dem Zusammenhang mit den Ergebnissen von § 2 wortet

( 3 . 7 ) Satz. Es sei G/Gq endlich erzeugt Dann ist T) endlich-dimenswnal, und die Lie-Topologie von j/(G) stimmt mit der natürlichen über ein Insbesondere ist s/{G) separabel

Beweis Es sei g^, ,g^ ein Erzeugendensystem von G modulo Go Dann ist jede Derivation durch ihre Einschränkung auf Gq und ihre Werte auf gl, ,g, eindeutig bestimmt Die Derivationsalgebra von Gq ist als algebra aller infinitesimalen Transformationen von Gq endlichdimensional (s den Beweis von (3 4) und [13]) Daher ist Î) endlichdimensional Die zweite Behauptung folgt nun aus (2 2) und [19, S 101, Theorem VI]

Eine Lie-Gruppe heiße halbeinfach, wenn ihre Lie-Algebra halbemfach ist

( 3 . 8 ) Satz. Alle Derivationen einer halbeinfachen Lie-Gruppe sind innere

Beweis Zunächst sei G zusammenhangend und D eine Derivation von G Dann ist Z)* = adA' fur ein gewisses Z in (5, denn eine halbeinfache Lie- Algebra hat nur innere Derivationen Wegen des Korollars (3 5) ist D = ^x ^^^^ innere Derivation von G Nun sei G beliebig Die Restriktion einer tion D auf Go ist inner, etwa D|Go = ^a:5 undD' = D —zI^^ verschwindet auf Go Es sei Gl Ф Go eine Komponente von G, und g^ ein Element von G^ Dann gilt