218 S Eiliger Über die Existenz maximaler algebraischer Korpererweiterungen

algebraischer Körper die Kette Tq^ T^ ç ••• ç 7;ç •• der Zentrahsatoren Tj = Vkj (L), etwa von T^ = Tan, stationär. Nach Voraussetzung D (ьКр) und Lemma 2 ist

H ( k ) = Нот i^^^ (L к L, Kß) ^h,T®-'-

für keKß und jS^a, und man schheßt wie eben, daß die Kardinalzahl der Kß nicht unbegrenzt wachsen kann. Damit ist der Beweis von Satz 4 beendet.

Bemerkung . Der Beweis benötigte statt А2(^Кр) nur D{[^Kß).

Als Illustration des Begriffs einer maximalen algebraischen terung sollen nun alle maximalen algebraischen Körpererweiterungen К eines kommutativen algebraisch abgeschlossenen Körpers Q bestimmt werden. Sei dim^K = n<(X), dann ist dimzK = n^ für Z = Z{K), nach einem bekannten Satz von Artin also n^2. Also ist К ein Quaternionenkörper über Z oder K = Q.

Dasselbe Beispiel zeigt, daß es zu gegebenem Körper verschiedene nicht isomorphe maximale algebraische Körpererweiterungen geben kann. Sei P der Körper der rationalen Zahlen, Q ein algebraischer Abschluß von P, RczQ reell abgeschlossen, QzdQ der Quaternionenkörper. Nach der obigen legung ist Q maximal algebraisch. Sei nun К ein beliebiger Teilkörper von Q und Z = Z{K), Ist ZФK, dann gih KR = Q, also

4 = (Q:R) = {KR\R) = (K®KnR^'t^)MK\KnR) = (K'.Z)(Z\KnR).

Also ist (K:Z)^4. Andererseits existieren Körper L mit (L:Z(L))>4 und algebraischem Zahlkörper Z(L). Ist К maximal algebraisch ^ L, so können К und Q nicht isomorph sein.

Literatur

1 Jacobson, N Structure of rings Amer Math Soc Coll Publ 37 Providence 1956

Dr Sigurd Elliger

Math Institut der Ruhr-Universitat

D - 4630 Bochum, Buscheystr NA

( Eingegangen am 1 Juni 1970)