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K . - J . Fleischer :

und ieJ,g,x} = Wc^W*{D^). Wegen h = efg ist heW. Es folgt heliW), was wiederum wegen h = efg nicht sein kann.

( 5 . 2 ) Lemma. Sei deD. Es ist |D| =4^"-1 und |Л^| = 3 • 4^"-^

Beweis . Wegen (Z) ist |Z)| = 5 • |C2)(d)|-4-|(Св(^)пС^)(х)| für xeA^, und И,| = \D\-\€j,(d)l Nach (4.10) und (4.7) ist |Со(^)| = 4^"-^-1 und

|Со ( ^ ) пС^ ( х ) |=42 " - ^ - 1 .

Durch Rechnung folgt die Behauptung.

( 5 . 3 ) Lemma. (Cßid) hat auf Л^ 5 genau zwei Bahnen.

Beweis , Sei xeA^^s- Für jedes zeA^^^ gilt, daß {x,d,zy=X zu einer der Gruppen Dio, ^5 oder ßj isomorph ist. In jedem Fall ist z unter Cxid) zu x oder df'^'' konjugiert, so daß C(^(rf) auf Л^ 5 höchstens zwei Bahnen hat.

Angenommen , Со(^) hat auf Л^ 5 nur eine Bahn. Seien a, ЬбЛ^.5> wobei beE„\{a}. Dann gibt es ein geéQ{d) mit a^ = b, und o.B.d.A. ist g ein 2-Element. Es folgt c^ = cd für ceE^xld}. Wir betrachten nun G als tationsgruppe auf £ = {£dl^e^}' (Wenn im folgenden von Permutationen die Rede ist, so bezieht sich das stets auf diese Darstellung.) Da |Л^| = 3 •4^"~\ induziert jedes deD eine gerade Permutation von £, und wegen ge^D) bewirkt auch g eine gerade Permutation von E, Wir werden jedoch zeigen, daß g als ungerade Permutation auf E operieren muß.

Sei eeDa und F{d,e) = F. Sei E^={eJ,ef} und ^^ = {^,^2,^3,^4}. Ist F^—F, so normalisiert g als 2-Element mindestens eine der drei Mengen e^, f^ und {ef)^. Sei o.B.d. A. e^^ = e^. Dann gelten bei geeigneter Bezeichnung folgende Relationen (es ist nur die Ordnung 3 gekennzeichnet).

ОЛ 0^3 oe^ oe

\ ) b ça dab

Ôcd Ôc 6d

Da a« = b; b«=a, folgt e^ = e, 4 = ^2 und ^1 = ^4. Somit induziert g auf F eine Transposition.

Ist F«+F, so induziert g auf {i5:,,|>^eFuF^uF«'u...} eine gerade mutation, da alle vorkommenden Zyklen in gerader Anzahl auftreten. Wegen |£)^|=:42'»-i_4 ist die Anzahl der F{d,e\ die von g festgelassen werden, gerade, und g induziert insgesamt auf {EJ[e£Dà\ eine ungerade Permutation.

Sei xeA^. Dann ist ^х^Е^У^А^. Sei Л = «х,£^>по)х{ЕЛ- bt Л^=Л so induziert g auf A eine ungerade Permutation. Wegen |Л^| = 3-4^"~^ schieht dies in einer geraden Anzahl von Fällen. Ist А^фА, so bewirkt g auf {EJxeAuA^uA^^kj,..} eine gerade Permutation, da alle vorkommenden Zyklen in gerader Anzahl auftreten. Demnach induziert g auf {EJxeAa) ebe gerade Permutation, und somit auf E eine ungerade. Das liefert uns den suchten Widerspruch.