Globale Moduln

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3 ) - ^2 ) Aus шМ endlich erzeugt folgt sofort Es gibt em endliches Ideal Iczm mit 1М = шМ Aus BemerkunglVl folgt dann mittels a), daß M^ noethersch ist fur alle ш Es ist also N^^ endlicher Durchschnitt von primären

Moduln p]czM^^, dann ist f] N^ пМ= f] f]p^r^M Es ist aber N^ пМа

' i j

f ] N-^m^M Denn ist XseN fur em хеМ вфш^, so ist XseN-^ш'^М und

n

wegen 1 5 xeN-\-ш"М

Dann folgt aus 3a), daß f] N^ nM = N und somit f] f]p]nM = N ist

i j

Satz 1.9.1. Em Rmg ist genau dann noethersch, wenn die maximalen Ideale endlich erzeugt sind und jedes endliche Ideal endlicher Durchschnitt von Primär- idealen ist

Gegenbeispiele zu Satz 1 9

1 . 9 . 1 ) Die Forderung, daß jeder Untermodul endlicher Durchschnitt von primären Untermoduln ist, ist wichtig Es gibt lokal noethersche Ringe R mit nur endlich erzeugten maximalen Idealen, die nicht noethersch sind, bei denen aber jeder Untermodul Durchschnitt von primären Untermoduln ist

Beispiel Sei к nichtarchimedisch lokal kompakt,

^= {/I/ ^n-^K /lokal holomorph}

Wie man leicht sieht, erfüllt R die Eigenschaft I (s [13]), somit ist R lokal noethersch, die maximalen Ideale sind endlich erzeugt und jedes Ideal ist Durchschnitt von primären Idealen

1 . 9 . 2 ) Die Forderung, daß шМ endhch erzeugt fur alle ш ist, ist lich Es gibt namhch Ringe R, bei denen jeder Untermodul endlicher schnitt von primären Moduln ist, die aber nicht noethersch sind

Beispiel In R = /c [xj, X2, ]/^^ mit ^ = (x^, X2, ) ist jedes Ideal primär ^ ist jedoch nicht noethersch

1 . 9 . 3 ) Fur den Fall, daß R lokal ist, ist die Forderung „M endlich" notig Es gibt nicht noethersche Moduln M über lokalen noetherschen Ringen, so daß jeder Untermodul eine endliche Primarzerlegung hat und шМ endlich ist

Beispiel M wie m 2), i^ =k[x{\l{x^f

Es sei noch erwähnt, daß unter Benutzung des Hilfssatzes 1 4 der Beweis von 1 8 und 1 9 leicht zum Beweis des folgenden Satzes abgeändert werden kann

Sei R ein Ring mit endlich erzeugten maximalen Idealen Ein lokal endlicher Modul M ist genau dann noethersch, wenn es zu jedem Untermodul NczM und ^w jedem maximalen Ideal m^ciR endlich viele maximale Ideale ш^, ,m^czR

m

^^^U SO daß f] С]М-\-ш^ wieder ein endlicher Modul ist 1=0 к