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H . Jeggle:

gleichmäßig gleichgradig stetig auf Г, für jedes zsF konvergiere ^,(2)-^

( p { z ) { ieA ) und die Integrale ^ (p{z)dz, j (pXz)dz existieren. Dann konvergieren

г г

sie auch : J (p^ (z) dz-^ \(p (z) dz {i еЛ). г г

4 . Approximation der Eigenwerte und -vektoren

In diesem Abschnitt wird IK=C gefordert. Die allgemein benötigten Voraussetzungen fassen wir in der folgenden Bedingung (F) zusammen. Dabei müssen wir uns, da wir gewisse Regularitätseigenschaften der Resolventen- funktionen brauchen, von Anfang an auf (B) bzw. (БJ stützen.

( V ) Die Folge ((L,, CJ) erfülle die Bedingungen (BJ und (fj). In einer kompakten Menge KcziC sei das Paar (r(z), (7;(z))) a-regulür und konsistent. Schließlich seien Knp{T) und KnB~ {T^) nichtleere Mengen.

Zunächst beweisen wir die Konvergenz von Spektralmengen.

( 1 ) Sei (V) erfüllt und in К eine Spektralmenge а von Tenthalten. Dann existiert zu jedem Cauchy-Gebiet Л zu а mit ÄczK ein Endstück Л'[Л\ so daß für alle ieA'{A) die Umgebung Л auch Cauchy-Gebiet zu einer nichttrivialen menge von T^ und K\A in p{T^) enthalten ist.

Beweis . Sei A^ Cauchy-Gebiet zu а mit А^аЛ. Dann ist K\zli eine pakte Teilmenge von p{T). Aus 3.(7) folgt die Existenz eines Endstücks А mit K\Ac:K\AlC:p{T^) für leA. Nun nehmen wir an, der erste Teil der hauptung sei falsch. Dann existierte Л^, so daß А czp{TX d.h. 7Î~4*) wäre für leAi holomorph in A. Insbesondere läge die Holomorphie von T^~^{.) auch in A^czA vor. Das Maximumprinzip [5] würde erbringen, daß die aufgrund 2.(10) für ieÄ[ in K\Ai geltende Abschätzung ||7;-^(z)|| ^y-^ auch in A^ gälte. Zusammen mit der Konsistenz ergäbe dies für ein beliebiges ZqGg

7 11^11^ II 7;(zo)uJ|, ieA[,

nach dem Grenzübergang hätte man die Injektivität von T{zq). Vorausgesetzt war jedoch z^ea.

Von nun an beschäftigen wir uns speziell mit Operatoren und Folgen, die nicht nur (F) erfüllen, sondern außerdem für alle 2 aus einem Gebiet Ge'^iK) sämtlich Semifredholm-Operatoren aus Ф^{Е,Р) bzw. Ф^{E^,F^\ leAo, sind. Nach 1.(24) enthält К in diesem Falle höchstens endlich viele Eigenwerte von Tbzw. i;, die alle Pole der Resolventenfunktionen sind.

Unter diesen Voraussetzungen erhalten wir die folgenden beiden genzsätze.

( 2 ) Wenn z^eK Eigenwerte von T^ mit z^-^ZQ (wA) und ^eD{T^) mit ||wj| = 1? leA, zugehörige Eigenvektoren sind, dann ist Zq Eigenwert von Tund es existieren A^czA und UQeD{T) mit

щ - ^Uo (leA^), ||moII=1, Г(2о)мо=0.