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H M Reimann

beschrankte Gebiete, die durch endhch viele kompakte C^-eingebettete (n-l)-dimensionale C*-Mannigfaltigkeiten berandet sind

Ein Homoomorphismus ф zwischen zwei Gebieten G und G' in K" ist maßtreu, falls das n-dimensionale Maß der meßbaren Mengen Л in G erhalten bleibt jdm= ^ dm fur alle A a G Ein Diffeomorphismus ф

А ф(А)

ist genau dann maßtreu, wenn die Funktionaldeterminante im ganzen Gebiet die Konstante ± 1 ist

Satz 4. Sind G und G zwei zu einem Normalgebiet N {C^')diffeomorphe Gebiete in Я" mit gleichem, endlichem, n-dimensionalen Maß, so existiert ein maßtreuer C^-Diffeomorphismus ф von G auf G'

Korollar . Ist n = 2 oder n = 3 und sind G und G' zwei zu einem gebiet N homoomorphe Gebiete mit gleichem, endlichem Maß, so existiert ein maßtreuer C^-Diffeomorphismus von G auf G'

Das Korollar ergibt sich aus dem Satz durch Approximation der Homoomorphismen i N -^G und x' N -^G durch Diffeomorphismen von N auf G beziehungsweise auf G' Daß derartige Approximationen existieren, ist wohl bekannt fur n = 2 Pur n = 3 wurde dieses Resultat von Munkres bewiesen (s Munkres [3], Satz 6 3, p 544, man vergleiche die Anmerkungen zur Entstehung dieses Satzes, loc cit p 544/545)

Pur behebige n lassen sich die C^-Diffeomorphismen x N -^G durch C^-Diffeomorphismen ф von N auf G approximieren, s Munkres [4] Es kann also vorausgesetzt werden, daß N durch C*-Diffeomorphismen Ф und Ф' auf G beziehungsweise G abgebildet werden kann Mit J^ bezeichnen wir den Absolutbetrag der Funktionaldeterminante von ф Auf N betrachten wir sodann die С°^-Volumenelemente J^dm und с dm, wobei die Konstante с durch die Bedingung ^cdm= ^J^dm eindeutig

iV N

festgelegt ist Nach den Sätzen 2 und 3 existiert nun ein C^-Diffeomor- phismus S N^N mit 9*{J^dm) = cdm Wird 9' analog definiert, so erfüllt der Diffeomorphismus ф = ф'o{S')~^ о ^оф-^ die Forderungen von Satz 4 Pur meßbare Mengen ÄczN ist namhch

jcdm= J J^dm= j dm

А »HA) фо» UA)

und für Ф' und S' gelten die entsprechenden Beziehungen ф ist also treu

Erhalt man das Normalgebiet N durch Einbettung einer Produkt- manmgfaltigkeit (im Sinne von Abschnitt 2), so kann man in Satz 4 auf die Forderung, daß die и-dimensionalen Maße von G und G' endlich sein sollen, verzichten