5г Klassen schwach kompakter Operatoren in Banachverbänden

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И { р , у , für jedes y€U{p,) gilt offenbar \\уГ^ J ЦР^уЦ^, Zu jedem n

п = 1

wählen wir weiter ein ср„еи{м,У=И{ц,у. (-+^=l) mit <p„^0, mit

<Р« ( Л ) =1|С>Л = 1 und <p„(y)=0 für alle у mit |>'|aj'„=0. Es gih <p„(y)=^

( p „ { P „ y } ; daher ist P:Py=Y, <Рп(у)Уп eine positive kontraktive Projektion

von L'Oii) auf U. VermitteFs der Zuordnung у„\-^х„(п€Щ definieren wir wegen p>q eine wohlbestimmte positive hneare Abbildung J: U-*U(}i). T=JP: И(11^)-^П(ц) ist positiv aber offenbar weder L-schwach- pakt noch M-schwach-kompakt.

8 . Anmerkungen und Beispiele. Der Spezialfall £^([0,1]), der auf dem Einheitsintervall bezügUch des Lebesque-Maßes p-fach integrierbaren Funktionen gibt Aufschluß über Eigenschaften L-schwach-kompakter Operatoren. Man sieht insbesondere, daß L-schwach-kompakte ratoren nicht notwendig die in Satz 6 hergeleiteten topologischen Eigenschaften fast-os-beschränkter Operatoren aufweisen. Bezeichnen WU' mit (p„ die Rademacher-Funktionen, definiert durch

( - 1 für 2n-lgf<2n neN.

und (p„{t) = (pQ{T't), so ist bekanntlich [8, S. 133] der von den Funktionen {ф„: n = l,2,...} erzeugte abgeschlossene Untervektorraum R^ in L^([0,1]) für l^p<oo topologisch isomorph zu f. Bekanntlich ist für ^^Р>ЧЫ der Raum E{\Q, 1]) in L«([0,1]) einbettbar ~ es sd J^ ^ diese Einbettung. J^^ is Hnear, stetig und L-schwach-kompakt, und es gilt '^q,P = '^q,rJr,p für jedes r mit p>r>0. Da außerdem im Falle oo>p>^^l die Einschränkung von J^ ^ auf R^ ein topologischer morphismus auf JR^ ist, haben wir die Existenz L-schwach-kompakter Operatoren nachgewiesen, die nicht die Aussagen von Satz 6 erfüllen.

In [8, S. 134] wurde gezeigt, daß im Falle 1 <p< сю der Raum R in ^^([0,1]) projizierbar ist. P2 sd die orthogonale Projektion von L^([0,^1]) auf Ä2; für oo>p>2 werden die Projektionen ^ von L''([0,1]) auf jR definiert durch ^ = /^^2^,^, dabd bezeichne /^ den Isomorphismus von ^2 nach Rp. J^^^ ist für p>2 daher nicht strikt-cosingulär aber L-schwach-kompakt; andererseits zeigte Pe/czynski [14], daß jede schwach kompakte Abbildung T: F-^Û{p) strikt cosingulär ist. Eine Abbildung Te^{F,Fi) heißt dabei strikt cosingulär, wenn kein unend- lichdimensionaler Banachraum F2 und keine surjektiven stetigen linearen Abbildungen T^-.F-^F^ und T^'.F^-^F2 existieren mit Г^ = Г2Г

Andererseits existiert eine stetige lineare Abbildung in einen verband mit ordnungsstetiger Norm, die strikt singular und strikt со-