Eine endliche Präsentation der symplektischen Gruppe SpJZ)

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2 . 3 . Ist ej = wl, so folgte aus Z^^i ::hZj = e^(Zj_i), daß auch 24 = 0 ist; dies ist aber ein Widerspruch zu IZ2I > |z2 4-ez4|, der Fall kommt also nicht vor.

3 . ej + i=w^ Mit Zj = (zi,Z2,Z3,Z4) ist Z^ + i =w^(Zj) = (-f;z2, ezj, -fcZ4,ez3), und aus Zj>Zj^i folgt entweder |z3|>|z4| oder Z3 = Z4=0 und |z2l>|zi|. Beim Vergleich mit Zj entscheiden also die beiden letzten oder die beiden ersten nenten.

3 . 1 . Ist é'j = xf, so ist man im Fall0.3; ist e^ = wf und ô= -e, so genügt die triviale Relation w^ • w~^= 1.

Ist aber ej = wf und 5 = г, so beachte man, daß aus den Relationen in R folgt, daß wl' im Zentrum von Sp^^iZ) liegt. Man vertausche daher w^' mit allen e, für l^ï^7-l und erhält im allgemeinen eine Relation, deren maximales Element kleiner ist bzw. kleineren Index hat - es sei denn, es ist e^_i =w^. In diesem Fall verwendet man für r]= -s die triviale Relation und Гш rj=e setzt man wl^ = wä^ (wegen der aus R abzuleitenden Relation w^= 1); dann hat die neue Relation ein maximales Element von kleinerem Index.

3 . 2 . Ist eje{x'ß.xUß.4.^ßl so folgt aus (RH) oder (R12) oder (R13), daß ej^^.ej = e'j-ej^i mit e]e{x^\x^^ß. х^^+р}. e^ und e] verändern die beiden letzten Komponenten nicht und, falls sie 0 sind, auch die beiden ersten nicht. Damit folgt die Behauptung Z] < Zj wie in 1.2.

3 . 3 . ej = wl. Man bekommt als Folge {Zj_i, Z^, Z^_^i}: (zi,(3z4,Z3, -(5z2)-^^^^-^(zi,Z2,Z3,Z4)—^-^(-£Z2,eZi, -f;Z4,£Z3),

undausZ , _i : : t>2' , >Z , ^i folgt: |z2l^|z4|<|z3|. Man wähle neZ so, daß

|zi + n . Z3|<|z3| ist (zзФ0!).

Es ist w>^X2-^^,x"2,^^-x^-"w>^xL^^ nach (R16), (RH) und (R12), schließlich folgt mit (R9) und (R11), (R12):

Damit bekommt man als neue Vektorenfolge {Zj_i, Z^,..., Z^^^, Z^ + i}, wenn man die n Operationen von Хд zu einer zusammenfaßt, und mit der Abkürzung

Zi=zi - f M-Z3:

{ z^ . öz^ . z - ^ , —5Z2)

^ - ^ ( e ( 5z4 , -ezi, -e^Z2, -ez3)-^^(e^Z4, -ezj, -eôz^. -ez^) -^—>(e(5z4, -£^Z3, -e(5z2,£(3zi)"^*^((5z3,^Z4, -öz^, -ÔZ2) —^(^Z3,Z2, -^Zi,Z4)—^^(-^^Z2,e(5z3, -ez4, -eöz^) >(-cz2,eZi, -ez4,ez3)-^—>(-ez2,czi, -ez4,ez3).

Nach Voraussetzung sind alle diese Vektoren (eventuell mit Ausnahme des ersten) kleiner als Z/, man braucht hierzu nur die 3. Komponenten betrachten.

4 . ej^^=w'ß. Hier müssen wir alle Möglichkeiten für ej einzeln behandeln, zunächst die einfachen: