Math Z 141 169-183 (1975) © by Springer Verlag 1975

Selbstadjungierte Differentialoperatoren und nukleare (F)-Räume in ^2(Cq)

Werner Stork

Einleitung

Es sei v42(Co) der Hilbertraum der m der offenen Einheitskreisscheibe morphen Funktionen mit endlichem Integral ^^ \f(z)\^ dx d\ Durch einen

" Co

linearen Differentialausdruck 1= Y. Pk(^)^^ ^^^ Polynomen p^^(z) in z und

k - O

mit D = d/dz kann man durch geeignete Wahl der Definitionsbereiche einen minimalen, dicht definierten Differentialoperator Lq(/) und einen maximalen, abgeschlossenen Differentialoperator L{1} in ^2(^0) erzeugen Unter bestimmten Bedingungen an die Polynome /7^(z) ist der minimale Differentialoperator Lq(/) symmetrisch und der maximale Differentialoperator L(/) zu Lq{I) adjungiert

Solche Differentialoperatoren hat Villone in [3] untersucht Er hat eine Bedingung an die Elemente des Definitionsbereichs von L(/) angegeben, die hinreichend fur die wesentliche Selbstadjungiertheit von Lq(/) ist Wir betrachten in dieser Arbeit eine Bedingung an den Koeffizienten p^{z) des ausdrucks /, die hinreichend fur die wesentliche Selbstadjungiertheit von Lq(1) und einige Eigenschaften der Abschließung von Lq(/) ist

In Abschnitt 1 sind die Ergebnisse aus der Arbeit von Villone gestellt, die wir in den folgenden Abschnitten verwenden werden

In Abschnitt 2 beweisen wir, daß bei einem linearen Difierentialausdruck

n

1= YjPk(^)^'' ^it Polynomkoeffizienten /?^(г), der einen symmetrischen Diffe-

rentialoperator Lq(/) erzeugt und dessen Polynom p„(z) keine Nullstelle auf dem Rand der Kreisscheibe Cq hat, dieser Operator Lq(1) wesentlich selbst- adjungiert und seine Abschließung der maximale Differentialoperator L(/) ist

Mit Hilfe eines Vergleichssatzes von Prosser aus [2] zeigen wir in Abschnitt 3, daß ein solcher Differentialoperator L(/) diskretes Spektrum hat und seine Eigenwerte eine Summationsbedingung erfüllen

Durch einen selbstadjungierten Operator L{1) kann man m naher zu der Weise einen Frechet-Unterraum D{L(l)'^) in v42(Cq) definieren Unter der oben angegebenen Bedingung an p^{z) zeigen wir in Abschnitt 4, daß fur jeden solchen Differentialoperator L{I) der (F)-Raum Z)(L(/)'°) nuklear und darüber hinaus topologisch isomorph zum Raum 5(Cq) der in Cq holomorphen tionen mit schnell fallenden Taylorkoeffizienten ist Wir benutzen dabei die von Pietsch in [1] entdeckten Zusammenhange topologischer Eigenschaften von D(L(/)'*) mit Eigenschaften des Spektrums von L(/) Aus der angegebenen morphic folgt dann, daß jede Eigenfunktion von L(l) schnell fallende koeffizienten hat