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St Ruscheweyh

Beweis Sei ЯеЛ Offensichtlich ist À{V) die abgeschlossene konvexe Hülle der stetigen Kurve a(r) = A(g(z, f)), tela, Ы und es ist klar, daß sich jeder Punkt dieser konvexen HuUe als konvexe Linearkombination zweier Punkte von (т(0 darstellen laßt Aus der Lmearitat von Я ergibt sich damit À{V) = X(V^) Sei nun feV Wegen 0фА2(У^) = ^2(^) gilt ^гСЛФО Man bestimme ue€ so, daß fur Я^^^^Я.-г/Я^еЛ gilt Я(„)(/) = 0 Wegen 1^JV) = \JV') gibt es em f^eV' mit Я^^^(/^) = 0, woraus die Behauptung des Satzes folgt

Satz Ib. Seien Я1,Я2бЛ, О^КеЯ^СК^) SeifeV Dann gibt es ein J^eVK so daß

КеЯ . СЛ^КеЯ^С / о ) КеЯ^С/) КеЯзС/о)

B^H^ïs Fur ^еЛ gilt offenbar КеЯ(1/) = ЯеЯ(К^) Fur/eFgibt es ein welR, so daß fur Я^^^^Я^-кЯ^еЛ gilt КеЯ^^^СЛ^О Damit existiert aber auch em/о e F тйЯеЯ )(/o) = 0

Ein typisches Problem der Form (1) ist die Bestimmung des kleinsten samen Konvexitats- bzw Sternformigkeitsradius fur Funktionenklassen, die durch Stieltjesmtegrale (2) gegeben sind Die üblicherweise zur Losung solcher Probleme herangezogene, allgemeinere Extremalaufgabe der Form

extrReH ( / ( c ) , / ( c ) , ,/"44 c),

feV

wobei H eine geeignete holomorphe Funktion ihrer Variablen ist, liefert meistens schwächere Aussagen über die Struktur der Extremalfunktionen und erhöht damit den Rechenaufwand Zum Beispiel haben Kirwan [3] bzw Wirths [10] die Sternformigkeitsradien der typisch-reellen bzw total-monotonen Funktionen unter Benutzung der allgemeinen Losung der obigen Extremalaufgabe berechnet Sie mußten dementsprechend Funktionen der Form

Z7 . g ( ^ , g , 7,^0, S7,= l,

betrachten Satz la zeigt, daß es m diesen Fallen ausgereicht hatte, konvexe Linearkombmationen mit nur zwei Summanden zu untersuchen

Anwendungen

a ) Sei f(z) holomorph in EK, f(0)=f'(0)~l=0 f(z) heißt konvex von der

Ordnung a, 0^oc<l, wenn Re^^+l>a, zeEK, gilt Wir bezeichnen die

Klasse dieser Funktionen mit X(a) MacGregor [5] zeigte, daß eine konvexe Linearkombination zweier Funktionen aus X(0) EK im allgemeinen nicht schlicht abbildet Silverman [7] bewies, daß dieses jedoch fur K(\) zutrifft, und vermutete, daß die vermittelten Abbildungen sogar sternförmig sind

Satz ! Eine konvexe Linearkombination yf{z) + (l-y)g(z\ 7e[0, 1], zweier Funktionen/, geKd) bildet den EK nicht notwendig auf ein sternförmiges Gebiet ab