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G . Thorbergsson

( ii ) lim ÄUt)= + ОС und lim АМ)= - oo.

( iii ) Ax{t) ist streng monoton fallend för t<0 und auchßr t>0.

Beweis . Zu (i): In den Polarkoordinaten um Cx{t) ist der geodätische Kreis Kx eine Parallelkurve. Wir können seine geodätische Krümmung deshalb mit Hilfe der Formel (**) im Abschnitt А berechnen, wenn wir auch benutzen, daß für koordinaten gilt: G,,(r,Ö) + X(r,ö)G(r,0) = O, G(0,ö) = 0 und G,(0,Ö) = 1. Die Behauptung folgt jetzt aus einfachen Rechnungen. Zu (ii) und (iii): Einfache Folgerungen aus (i).

D . Kreise auf Flächen nichtpositiver Krümmung

Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, daß die Fläche M einfach hängend und von nichtpositiver Krümmung ist. Solche Flächen nennt man Hadamard'Flachen. Jede Fläche nichtpositiver Krümmung erhält man als einen Quotienten M/D, wobei D eine eigentlich diskontinuierliche Gruppe von Iso- metrien auf einer Hadamard-Fläche M ist.

Unter einem Kreis auf M/D verstehen wir eine Kurve, die entweder geodätischer Kreis, Horozykel oder Hyperzykel ist. (Horozykel und Hyperzykel werden unten definiert.)

c : 1R->M/D sei eine Geodätische mit dem F-2-Bein (^1,62). Dann heißt die Kurve as(t):=exp^(,) 5^2(0 Hyperzykel (oder Parallelkurve zu der Geodätischen c). ot, ist für alle s eine reguläre Kurve, weil M keine Brennpunkte hat. Die Hyperzykel sind im gewissen Sinne die Kreise mit Mittelpunkt jenseits des „Unendlichen".

Die Funktion Ä^ aus dem Abschnitt С ist für M auf ganz R - {0} erklärt. Ferner ist Axit)>0 für r>0 und Äx{t)<0 für t<0.

Den Einheitsvektoren XgTM ordnen wir jetzt folgendermaßen Funktionen Вх'.Ж-^Ж zu: Cx sei die Geodätische mit Cx{0) = X. Д sei die Geodätische mit Anfangsrichtung -^2(0, wobei (^1,^2) das F-2-Bein von Cx bezeichnet. i$ sei der Hyperzykel parallel zu Д mit Px(0) = Cx{0). Bx soll dann teЖ die geodätische Krümmung von /$ in 0 zuordnen.

Wir bringen einige Eigenschaften der Funktion Bx in dem nächsten Lemma. fx und gx seien wie in (C.2).

D . l Lemma, (i) Es gilt Bx{t)=fx{t)/gxit). Bxit) ist also differenzierbar.

( ii ) Bxit) ist monoton wachsend. Wenn die Gaußsche Krümmung K<0, so ist Bxit) streng monoton wachsend.

( iii ) lim Bxit)= lim Axit). Bxit) ist daher beschränkt.

r - * ±oo t-»±oo

Beweis . Zu (i): Vgl. den Beweis zu (C.2). (In geodätischen Parallelkoordinaten basierend auf jS^ hat Giu,v) folgende Eigenschaften: G„„(w, i;) + K(m, i;)G(w, г;)=0, G(0,i7) = l undG„(0,(;)=0.)

Zu (ii) und (iii): (ii) folgt unmittelbar aus (i). (iii) beweist man mit dem Satz von L'Hospital.

XeTM sei ein Einheitsvektor. Die Busemann-Funktion hx'. M^Ж ist dann wie folgt definiert [2, S. 131]: /i;f(p):= lim idip,Cxit))-t). Der Horozykel Hx ist

t - * + 00