Vierscheitelsatz auf Flachen nichtpositiver Krümmung

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Wir erinnern daran, daß die geodätische Krümmung der Horozykel vielleicht nur stetig ist (da die Horozykel vielleicht nur von der Klasse C^ sind) Aber wenn es sich in der Zukunft zeigen wird, daß die Horozykel öfter als zweimal zierbar sind, so impliziert die Bedingung (b) an die Horozykel wegen des Lemmas (A 2) die Bedingung (a)

Wenn die Gaußsche Krümmung der Flache MjD konstant ist, so sind die Scheitel genau die stationären Punkte der geodätischen Krümmung (weil die Kreise m dem Falle genau die Kurven konstanter geodätischer Krümmung sind)

G 1 Satz, с / -> M/D sei eine einfach geschlossene nullhomotope Kurve Dann hat с zumindest vier Scheitel Falls M/D eine Hadamard-Flache ist [d h M/D = M\ so gibt es vier Scheitel derart, daß zwei von den zugehörigen Schmiegkreisen ganz in der abgeschlossenen Hülle des Innengebietes von с verlaufen und zwei ganz in der abgeschlossenen Hülle des Außengebietes von с verlaufen

Bemerkung Man kann von Innen- und Außengebiet einer einfach geschlossenen Kurve auf einer Hadamard-Flache sprechen, weil sie vom Homoomorphietyp des 1R2 ist

Beweis c' 1-^M sei eine Überlagerungskurve von с 1 -> M/D Da с nuUhomotop ist, ist c' auch einfach geschlossen Die Projektion von M auf MjD fuhrt offenbar Scheitel der Kurve c' m Scheitel der Kurve с über с hat also vier Scheitel, wenn с vier Scheitel hat Wir können unsere Betrachtungen deshalb auf Hadamard- Flachen M beschranken

In (E 1) haben wir zwei Scheitel von с gefunden, die die Eigenschaft haben, daß die zugehörigen Schmiegkreise ganz in der abgeschlossenen HuUe des gebietes von с verlaufen Wir wollen jetzt die zwei anderen Scheitel finden

Fur jedes tel bezeichne S^ den Kreis mit S,(O) = c(0, der ganz in der senen Hülle des Außengebietes von с verlauft und die Eigenschaft hat, daß es keinen anderen Kreis gibt, der zwischen с und S, liegt Die Existenz dieses Kreises folgt daraus, daß die Kreise mit vorgegebener Anfangsrichtung die ganze Flache überdecken (D2(m)) und Überlegungen wie im ersten Schritt des Beweises zu (El)

( i ) Wir wollen in diesem Schritt die folgende Behauptung beweisen Wenn 5f und с nur den Punkt c{t) gemeinsam haben, so ist t em Scheitel

Der Beweis geht ungefähr wie im Schritt (ii) des Beweises zu (E 1), d h wir zeigen, daß die geodätischen Krümmungen von S^ und с in dem Berührungspunkt gleich sind Daraus folgt wegen (A 2) die Behauptung Wenn sie nicht gleich sind, so können wir namlich einen Kreis finden, der zwischen S, und с verlauft (Dies folgt daraus, daß die Kreise mit einer vorgegebenen Tangente ganz M überdecken und aus dem Lemma (Dl(iii)), das mit (Al(ii)) besagt, daß die geodätische Krümmung des Horozykels H^ gleich ist lim^^^(t) = ^lim^J5^'(0)

( ii ) Wir können jetzt das Knesersche Verfahren anwenden um die zwei suchten Scheitel zu finden Dabei wird die einzige Änderung vom Schritt (in) des Beweises zu (E.l), daß die Behauptung "S, fur tel^ berührt с nicht außerhalb /q" jetzt mit (D 3) bewiesen wird, aber nicht mit (C 1) wie vorher