218

M Algner

Nach [3, Satz 2 10] schließen wir, daß das Ungleichungssystem Ms>0 eine nichtnegative Losung besitzt, die wir wiederum als ganzzahlig voraussetzen können Fur q^ = s^ (g Z, ^ 0) folgt aus m^ s > 0 bzw m ^, s > О

X 5р<^1 furx6^o-^i.

Pâx

\< Z 5^<^.+ 1 fur xeW-W,^, 0 = 1, ,1-2),

^t - i<Z^P fur xeWi_,

Pâx

Es sei schließlich geG em beliebiges Element >0 Dann ist w L^G, w(x) = ( Z •Sp)g eine gewünschte G-Metrisierung П

Рйх

Da in Bedingung b) des Satzes die Gruppe G überhaupt nicht eingeht, ist also eine Filterfolge entweder metrisierbar m bezug auf jede geordnete abelsche Gruppe Ф {0} oder m bezug auf keine Insbesondere können wir uns also auf Z als Wertebereich beschranken (vgl hierzu den Approximationssatz in [7, S 194])

Folgerung . Sei L ein endlicher distributiver Verband und G eine geordnete abelsche Gruppe Ф {0} Dann ist eine Filterfolge in L genau dann G-metrisierbar, wenn sie Z-metrisierbar ist

Spezialisieren wir Satz 1 und die Folgerung auf Folgen der Lange 1 = 2, so erhalten wir eine Charakterisierung metrischer Filter

Satz 2. Sei L ein endlicher distributiver Verband, Wein nichtleerer Filter in L, und G eine geordnete abelsche Gruppe Ф {0} Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent

a ) W ist G-metnsierbar

b ) W ist Z-metrisierbar

c ) Fur к-M ultimengen X = {x^, ,Xj^} aus W, Y={yi, , y,^} aus L-Wist die Inklusion

i Пхдя i Ну,) (4)

1=1 t=l

niemals erfiillt (/ceN)

4 . Bestimmung einer Metrisierung

Wir wenden uns der Aufgabe zu, zu einer gegebenen Filterfolge eine rung (falls sie existiert) zu bestimmen Die folgenden Überlegungen können fur beliebige Folgen gefuhrt werden, wir beschranken uns der Übersichtlichkeit halber auf 1 = 2, d h auf die Metrisierung einzelner Filter W Um ökonomisch vorzugehen, wollen wir s F-^Nq so bestimmen, daß eine möglichst große Teilmenge Pq auf 0 abgebildet wird Es sei $B die Menge der minimalen Elemente