Metrische Filter distributiver Verbände

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aus W, 93 heiße die Basis von W. Ist рбР(х), so gibt es ein eindeutiges Element Xp mit Xp<-x, I{Xp) = I{x)-{p} (s. z.B. [1, S.71]). Ist also xe®, pePix), so gik für jede Metrisierung (w, q)

w { x ) ^q> w{Xp) = w{x) - s{p).

Jedes Element aus P'=[j P{x) muß demnach bei jeder Metrisierung mittels 5

auf eine positive Zahl abgebildet werden. Daß umgekehrt die Elemente aus F dadurch charakterisiert werden, zeigt der folgende Satz.

Satz 3. Es sei L ein endlicher distributiver Verband, W ein Filter Ф L, 0 mit Basis SB und P'= и P{x\ Г{х)==1(х)пР\ Dann sind die folgenden Bedingungen äquiva-

jce93

lent :

a ) W ist Z-metrisierbar.

b ) Für k-Multimengen X = {xi,...,Xf^} aus W,Y={y^, ...,yf^} aus L-Wist die Mengengleichung

X Г{х,)= Z Ib.) (5)

к к

: 1

niemals erföllt (кеЩ.

Ist W metrisch, so existiert eine Metrisierung w(x)= X ^(P) ^^^ 5(р)фОорбР'.

Beweis . Angenommen für das Paar von /c-Muhimengen X, Y ist (5) erfüllt. Wir setzen К={иЕЪ\ m^xJ, z, = sup/'(xj für i = l, ...,/c. Wegen P(m)ç/'(xJ für alle ugK^ gilt supK^^z^^x,, also z^gI^ und /'(zj = /'(xj. Ist nun pel{z;)-l\z) beliebig gewählt, so existiert p'sl'iz) mit p^p'. Da nun p' ebenso oft in den Mengen Г{у) auftritt wie in den /'(zj, können wir also die Mengen /'(zj zu /(zj erweitern, woraus die Inklusion vom Typ (4)

к к

E 7(2.) £ Y. J (У,)

1=1 1=1

resultiert . Ж ist somit nicht metrisierbar.

Ist aber b) erfüllt, so definieren wir entsprechend dem Beweis von Satz 1 folgende Matrix M = {m^p). Die Zeilen von M sind durch L indiziert, die Spalten durch Fu{l} (o.B.d.A. 1фР'1 mit

1

falls peF,

puxeW

- 1

falls peF,

pux^W

^xp =

- 1

falls p = i,

x£W

1

falls p = l,

x^W

0

sonst .

Aufgrund einer analogen Überlegung folgt, daß das homogene stem аМ = 0 keine semipositive Lösung besitzt. Nach [3, Satz 2.9] hat dann Ms