Math Z 154, 257-260 (1977) тЗшбшЗГВСПС

Zeitschrift

© by Springer-Verlag 1977

Verlagerung und normale Fittingklassen endlicher Gruppen

Hartmut Laue\ Hans Lausch^ und Garry R. Pain^

^ Mathematisches Seminar der Universität, Olshausenstr 40-60, D-2300 Kiel 1, Bundesrepublik

Deutschland

^ Department of Mathematics, Monash University, Clayton, Victoria, 3168, Australien

Wie Blessenohl und Gaschütz in [2] gezeigt haben, kann man eine normale Fittingklasse konstruieren, indem man jeder Gruppe G einen Homomorphismus /(j von G in eine abelsche Gruppe A zuordnet, der sich auf Normalteiler „richtig" einschränkt. Im wesentlichen haben sich bisher zwei Arten solcher phismen als fruchtbar erwiesen: Die Signumszuordnung im Anschluß an einen geeigneten Homomorphismus von G in eine Permutationsgruppe und die minante bei einer geeignet zu wählenden Darstellung von G. Im folgenden wollen wir zeigen, daß auch eine Variante der Verlagerung zu neuen normalen Fittingklassen führt. Das hier durchgeführte Verfahren ist angeregt durch gers Arbeit [1]; die dort angegebene Konstruktion werden wir als Spezialfall des Satzes dieser Note erkennen.

Mit g bezeichnen wir die Klasse der endlichen Gruppen; sie soll alle hier betrachteten Gruppen enthalten. Für die Begriffe und Sätze über normale (entsprechend ^-normale) Fittingklassen sei auf [2], für die übrigen gen auf [3] verwiesen.

Sei X eine Gruppe.

Für eine Gruppe G sei ß = {H^,..., ЯJ eine gegen innere Automorphismen abgeschlossene Menge von zu X isomorphen Untergruppen. Der von einem geG bewirkte innere Automorphismus g von G induziert dann eine (wieder mit g bezeichnete) Permutation auf (1,...,r} durch die Festsetzung Н^^ = Щ für \^i ^r. Q zerfällt unter <g> in Transitivitätsgebiete Q^, ...,Q^ der Längen /j, ...,/5. Wir halten im folgenden das Element g fest und wählen die Numerierung der Hj so, daß HjEQj gilt für l^j^s.

Ferner sei (p^ ein Isomorphismus von Я, auf X (l^i^r) und {AutXy^K ^AutZ; dann ist die Abbildung (p^^gln^^ig ^^^ Automorphismus von X und

r

f^ ( g ) : — K- П ^r ^ ^\h, ^ig sin Element der abelschen Gruppe (Aut X)/K. Es gilt :

1=1

( 1 ) f4g)=K.Y\4>r'ê%.Vr

Beweis .