Ein Banach Stone Satz fur adaptierte Vektorverbande und Algebren 289

Beispiel Seien X = [0, 27г[, X^ =[0, 2л:] und Jp2 die Emheitskreislinie im R^ Wieder bezeichnen wir mit P die stetige Abbildung

P X-^X2

th - ^ { smt , cost),

und mit E bzw È^ bzw £2 ^i^ adaptierten Räume ^o(X) bzw ^(X^) bzw ^^(Хз) Dann gilt

1 ) Die natürliche Einbettungsabbildung

cp , ^о{Х)^ЩХ,)

ist em positiver Algebrenhomomorphismus Zu Çi gibt es jedoch keine stetige Abbildung

Ф , X,-^X

mit <^i(p)=po'Ai f^r allß P^^ (wohl aber eine stetige Abbildung xj/i von X^ m die Alexandroff-Kompaktifizierung X^^ von X)

2 ) Die Abbildung

( P2 E-^É2, definiert durch

( PimPit ) ) =t p{t) {teX,pEE\ ist em Verbandshomomorphismus Es gibt eine stetige Abbildung

Ф2 X2x{(0,l)}-^X

und eine strikt positive, stetige Funktion / auf Xq =X2\{(0, 1)} (namlich idop-4 )mit

Ф2 ( Р ) ( 0 = /Й Pi^lit))

fur alle psE und te Xq

Weder die Abbildung ijj2 noch die Abbildung / besitzen m diesem Fall stetige Fortsetzungen auf X2

Bemerkung Die folgenden Überlegungen zeigen, daß die Situation des Beispiels typisch ist

Seien dazu im folgenden (X, E) em beliebiger adaptierter Raum und É em Vektorraum stetiger Funktionen auf einem topologischen Raum X Fur jede positive lineare Abbildung ç E-^E sei

Xo ={xeX е^ос,фО}

die Menge all derjenigen Punkte in X, m denen <^(£) nicht ausgeartet ist

Sind E und Ë Vektorverbande, E linear punktetrennend, und cp ein linearer Verbandshomomorphismus, so folgt aus dem angegebenen Satz die Existenz von