Einfache Algebren und projektive Darstellungen über Zahlkorpern

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von G m /с*, so daß T einen /c-Algebrenhomomorphismus

T kj-G^A (28)

vermittelt Nach Konstruktion ist dieser offenbar surjektiv, aus Dimensions- grunden dann sogar bijektiv Also gehört das vorgegebene Element у m der Tat zu PA{k)

4 . Zum Beweis der Satze 2 und 3 benotigen wir folgenden (vom Aufbau der Algebrentheorie her geläufigen)

Hilfssatz 2. Gegeben seien eine natürliche Zahl m und eine endliche Menge S von Primstellen von к Es gibt dann eine Einheitswurzel ^, fiii die k{^)/k eine zyklische Teilerweiterung K/k besitzt, deren lokalen Grade bezüglich aller endlichen Prim- stellen aus S durch m und bezüglich aller reellen Primstellen aus S durch 2 teilbar sind

Zusatz . Ist dabei m Potenz einer Primzahl q und setzt man ferner voraus, daß к die q-ten Einheitswurzeln enthalt, so kann man bei der obigen Existenzaussage noch verlangen, daß t, eine Einheitswurzel von q-Potenzordnung sein soll

Beweis Die einfache Argumentation fur den ersten Teil des Hilfssatzes wollen wir an dieser Stelle nicht wiederholen (vgl etwa [1], Seite 192), aus ihr ist auch unschwer zu ersehen, wie man beim Beweis des Zusatzes vorzugehen hat Wir wollen dies jedoch hier ausfuhren Sei zunächst дФ2 Dann ist wegen der Voraussetzung, daß к die g-ten Emheitswurzeln enthalten soll, к nicht reell, so daß wir nur die endlichen Stellen aus S zu berücksichtigen haben Wir ten den Korper K = k{^) mit einer primitiven q^'AQn Einheitswurzel i, wobei wir uns die Wahl der natürlichen Zahl x noch vorbehalten Nach Voraussetzung ist die Galoisgruppe G(/c(^)//c) wegen q^2 eine zyklische q-Gruppe Da aber der lokale Grad von k{^)/k bezüglich einer festen endlichen Stelle mit wachsendem x gegen 00 geht (denn jeder Erweiterungskorper endlichen Grades von Q^, enthalt nur endlich viele Emheitswurzeln), ist wegen der Endlichkeit von S die tung im Fall дф2 schon bewiesen Sei jetzt q = 2 Wieder sei ^ eine zel der Ordnung 2"" Wir betrachten jetzt den nichtreellen Korper K = k{^-^-'^) Dann ist K/k zyklisch, und es gilt

\kiO K\u2 (29)

Wie oben haben wir jetzt nur noch x hinreichend groß zu wählen

Wir beweisen jetzt zunächst Satz 3 Sei у em Element aus B{k), und besitze у die Ordnung m Wegen Hilfssatz 2 wird y nach dem Hauptsatz der theorie (vgl [2], Satz 2 auf Seite 118) repräsentiert durch em zyklisches schränktes Produkt

B = {K,(j,ot), (30)

wobei

К сад

( 31 )