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E Kamuth und R. Lasser

Тг / ^^1д^сТ , d.h. а\МеГ. Nach Voraussetzung ist /J]^gMaxL^(G) und damit h = I7\N^ Q- Ist also Q eine Wiener-Menge, so < J> = /c (f) und daher J = к{Г) = к{Т).

Lemma 9. Sei G eine abelsche diskrete Gruppe, H eine Untergruppe und r.G-^H die Einschränkungsabbildung. Sei T^G eine Wiener-Ditkin-Menge, so daß r\T injektiv ist und г{Т)^Й eine Wiener-M enge. Ist dann S^G/H zerstreut, so ist E = ST eine Wiener-Menge.

Beweis . Sei / ein abgeschlossenes Ideal in Ü{G) mit h(I) = E. Wir zeigen zunächst: Ist fel}{G) und existieren zu jedem ÀeG/H eine offene Umgebung V in G/H und eingG/mit/-gG/c(Kr), so gilt/e/. Seien dazu l/çG/Я offen und g,e/, г =l,...,n,

mit и V = G/H und f-g,ek(V,-T).MitJ=k({G/H\V,)-T)undJ = Ji+ •■+J„

1=1 n n

gilt dann h{J) = 0, also J = Ü{G). Ist ô^= Y, щ mit це7^, so folgt /= ^ g^^u^

+ 1 (/-g>i^.e/ + /c(r(r)) wegen k{V,-T)nJ=k{GIH'T) = k{r-'{r[T))) =

1= 1

к ( r (T)). Nun ist r (T) eine Wiener-Menge, also k{r{T))^I etwa nach [4, Corollary 2]. Sei nun fek{E) und zl die Menge aller XeG/H, zu denen kein solches V und g existieren. Dann ist A abgeschlossen und A^S; denn ist ÀфS und Ж eine schlossene Umgebung von Я in G/H mit Жп S = 0, so gehört / in jedem Punkt von W' T lokal zu /, und daraus folgt mit den üblichen Schlüssen [18, Beweis von (2.7.14)] /е/ + /с(Ж- T). Falls z1 Ф0, so hat А einen isolierten Punkt 1 Sei dann U eine offene Umgebung von Я in G/H, so daß zu jedem ôe U\{X} V und g wie oben existieren. Mit T ist auch Я- T eine Wien|r-Ditkin-Menge; also gilt I + k{ÀT) = k(À'T)^k{EX und к(Я-Г) hat approximative Einheiten. Es folgt f—g =

lim / „ * ( / - g ) für einge/und/„G/c(^J,H;^A.roffen. Ist F„ offen in G/HmitAei;

und V„TpW„, so also f„ek{V„'T). Wähle schließlich F und Ж offen in G/H mit Яб К, Kç W, W^ и. Es gibt dann ein heÜ{G) mit (/i, a> = 1 auf F- T und =0 auf (G///\IF) • T. Nach dem ersten Teil des Beweises folgt dann h*f^*{f — g)El, neN, also h*{f—g)el oder h^fel. Nun ist aber f = h*f—{h^f—f)eI + k{V' T), ein Widerspruch. Also ist zl =0 und dann fei.

Sei G eine mittelbare diskrete Gruppe mit 1} (G) symmetrisch und L ein scher Normalteiler in G mit LçZ2(G). Daraus können wir eine Abbildung ^ = (3f^^:MaxL^(G)-^£(L,G) definieren durch Iß-^ß\L; denn zu MEMaxL^(G) existiert ein ßeE{G) mit M = Iß, und ist Iß = Ia,, oieE{G\ so liefert Lemma4 jS|L = a|L, da Tr/i^l^^ minimal invariant ist. Ist yeE{L, G) so q~^{y) abgeschlossen in Max L^(G); denn IßSq'^y) impliziert Iß^^^Iy, also y = ß\N (Lemma 4).

Lemma 10. Sei L ein abelscher Normalteiler in der nilpotenten Gruppe G der Klasse 3 mit L^Z2(G) und G/L abelsch. Sei œeE(L,G), und {Iß} sei Wiener- Ditkin-Menge für alle ßeq~^(a)). Ist dann F eine zerstreute Teilmenge von Max I}((G) mit F^q~^ (со), so ist F Wiener-M enge für Ü (G).

Beweis . Sei ßeE{G) mit ß\L = a); wegen /^eMaxL^G) (Korollar2) und G/L abelsch gilt dann q~^{co) = {I;^ß; XeG/L}. Sei X = {x6L; ш(х) = 1}, dann ist <2~ ^ (со) Ç Max L^(G/K) und nach KoroUar 1 F eine Wiener-Menge für l}{G\