Ein Kriterium für die Offenheit der Versalität

465

ein kohärenter JJ^^qu'^-Modul. Insbesondere ist die kanonische Abbildung von

inversen Systemen

êcoé\f 3F\ M)/(x'4œ^\f\ ^\ Ji) -> Scd\f ^\ М/о.^'М)

im wesentlichen bijektiv.

Beweis . Der erste Teil der Aussage ergibt sich aus (6.3). Der zweite Teil folgt

hieraus mit üblichen Schlüssen, vgl. EGA, Chap. III. П

Für den Spezialfall ^' = б^ ergeben sich hieraus die entsprechenden gen für die direkten Bildgarben R%{-).

§7 . Halbstetigkeit

Der Halbstetigkeitssatz besagt, daß für einen eigenthchen Morphismus f-X-^ Y von komplexen Räumen oder noetherschen Schemata und einen Фу' flachen kohärenten (P^-Modul M die Funktionen

y^d : miW { X^ , J ( ® , ß^ )

nach oben halbstetig auf Y sind. Ist überdies Y reduziert und die obige Funktion lokal konstant, so ist R'fJ^M) lokal freier (P^-Modul, vgl. [17,13], Chap. III. Ähnliche Halbstetigkeitsaussagen gelten auch für die toren bei flachen eigenthchen holomorphen Abbildungen ([15], Theorem 4.2), sowie unter geeigneten Voraussetzungen für die relativen ^^z^-Funktoren, vgl. [4], Satz 3, [5].

Das Ziel dieses Abschnitts ist es, solche Aussagen für beliebige hinreichend schöne Kohomologiefunktoren zu zeigen. Wir betrachten stets die folgende Situation:

( 7 . 1 ) Sei /:X->7 ein Morphismus von komplexen Räumen oder schen Schemata. Für jede offene Teilmenge t/çY sei ein Kohomologiefunktor {F\V,-%^^ gegeben von der Kategorie Coh^/-^(l/)) in die Kategorie Coh([/) mit den zu Beginn von §6 beschriebenen Eigenschaften. Im schen Fall sei eine der folgenden Bedingungen erfüllt:

( a ) Y ist endlichdimensional und ausgezeichnet.

( b ) F'=0 für г>0 und Y ist universell japanisch.

Anstelle von F^ifJ, —) schreiben wir im folgenden wieder kurz F(-). Sei nun ^GCoh^Jf) fest. Für jeden Modul ЖбСоЬ(У) liefert die tion der kanonischen Abbildungen

Л^fJ^Ж4 ? ш { ^ , ^®/*(^))), nv^id^®n /J^M^, ^®/*(^)))-^ «^^(F(n ^^(^®/*(^))

einen Homomorphismus von JT in Ж^m{F\Щ, F(^®/*(J^))), oder, was bedeutend ist, einen kanonischen Homomorphismus

( 7 . 2 ) Jr®F\<S)-^F\^®f\^)).

Wir wollen zunächst die folgende Konstruierbarkeitsaussage zeigen: