Moduli reflexiver Garben und Flachen von kleinem Grad in P'^

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Es besteht eine exakte Sequenz

Der Modulraum Mp4(-1,3,5,10) ist irreduzibel und glatt von der Dimension 24

Beweis Sei P^cF"^ eine generische Hyperebene Fur die Einschränkung Fpa bekommt man folgende exakte Sequenz

0 - ^Трз ( - 2 ) еб^рз ( - 1 ) - >б ? Р®з^ - ^^рз ( 2 ) ^0

Die Kohomologiesequenz zu

0^F ( / c - l ) - ^F ( / c ) - >iv3 ( / c ) ^0

liefert dann /z^^O)) = 0 fur i > 0, ; > 1 -1

Aus dem Satz von Castelnuovo [12] folgt daher, daß F (2) global erzeugt ist Die Kohomologiegruppen H'{F) verschwinden, es muß also c^ = 10 sein Also gilt h^{F{2)) = 6 und es besteht eine exakte Sequenz

Man sieht leicht, daß K^ 7^,4 (-2) ist Aus der Auflosung

0^T^4 - 2 ) - ^ ( 9®^ - ^F { 2 ) - ^0 bekommt man

Ext4F , F ) = 0 fur i>l

und dim^^ Ext 4^, Л = 24

Dies beendet den Beweis von Theorem 1 8

Bemerkung 1 10 Man kann zeigen, daß eine generische Garbe FGMp4 (—1,3,5,10) Cokern eines Schnittes seH^(E{l)) ist, wobei E em stabiles 3- Bundel mit den Chernklassen

0^=0 , ^2 = 2, Сз = 2

ist Der Modulraum dieser Bündel kann mit einem offenen Teil der Grass- mann-Mannigfaltigkeit 0(2,9) der Ebenen im IP^ identifiziert werden [4]

2 . Klassifikation der glatten Flächen vom Grad ^6

In [14] haben wir den Satz über die Korrespondenz zwischen Flachen und reflexiven Garben vom Rang 2 dazu verwendet, um Beispiele fur semistabile reflexive Garben zu konstruieren

Wir woflen hier nun umgekehrt zeigen, wie man die Theorie reflexiver Garben dazu verwenden kann, um Aussagen über die Existenz und tion von Flachen im IP^ zu gewinnen

Das Resultat ist der folgende Satz