^^^ J Neukirch

Ist % ein Primelement von Ag^, so ist î^l(%) = %(%) = U dh die Abbildung v* ist surjektiv und damit bijektiv wegen *H^(G(L\KyAj) = n Hieraus folgt H\G(L\KyUJ = l

( 2 3) Definition. Sei L\K eine endliche galoissche Erweiterung Wir definieren die Reziprozitatsabbildung

r^^f , G(L\K)-^AJN^^f,A^ durch

^LfxH = ^ii^(^i) mod N^i^ Aj^

wobei E der Fixkorper eines Urbildes оеф(ЦК) von GeG(L\K) ist und n^eAj^ ein Primelement

Wir müssen natürlich zeigen, daß die Definition von Гц^г(о) unabhängig ist von der Auswahl der Liftung ö von g und des Primelementes tü^ Wir schicken diesem Nachweis die folgende Betrachtung voraus Wir setzen

Sei F\K eine Teilerweiterung von L\K mit F I? = L und sei / = [F^ X] Dann ist

N\p = Np^PO

Wir wählen eine feste Fortsetzung (реф(ЦК) von cpg^ auf L und erhalten eine Zerlegung

NfiK^Noj^p , (1)

wobei der Homomorphismus Жр Ap-^Aj^ durch

v=0

definiert ist Die Gruppe G(F^\K) hat namlich die Ordnung / und wird durch (Ppo^j^ = (p\po erzeugt, so daß

/ - 1

iV ( ^^W ) = П ^F|FO«^ = iVFO|K(iVF|Fo(«)) = Np,^(a) v=0

( 2 4) bemm^i. Seien G^,02,0ъ^ф(ЦК) und sei G^^G^ Gj Ist I^ der Fixkorper von G^ und ж^еА^^ ein Primelement, ï = 1,2,3, so gilt

^1з|х ( ^з ) = ^1,|к(^1) Ni2\Ki^2)^odNL^gAj^

Beweis Sei I der Fixkorper von (p Dann ist I^=:InK = K Wir dürfen men, daß I,I^^L, 1 = 1,2,3, denn sonst gehen wir zu einer in L enthaltenen galoisschen Erweiterung E\K über mit I,I^,L^L, ï = 1,2,3 Fur diese gilt L =L, und wenn die Kongruenz modN^^^j^Aj^ gilt, so erst recht modiV^^ij^^^^ Sei jetzt n = [L-X] und sei M\L die in L enthaltene Erweiterung vom Grade n Dann ist M\K galoissch vom Grade n^ Wir stellen die Lage der auftretenden