Algebraische Varietäten und ^-vollständige komplexe Räume

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q offene Steinsche Mengen überdeckt, so gilt W{X, F) = 0 für jede kohärente analytische Garbe F auf X und jedes i ^ q. Aus dem nächsten Satz folgt, daß X unter diesen Voraussetzungen ^-vollständig ist

Satz 2.3. Seien X ein komplexer Raum und U, V offene Teilmengen von X, so daß и P'Vollständig und Vq-vollständig ist. Dann gilt: Uu Vist {p-\-qYvollständig.

Beweis . Es seien / eine ^-konvexe Ausschöpfungsfunktion von U und g eine ^-konvexe Ausschöpfungsfunktion von V. Es gibt dann eine lineare Menge M über L/uF mit dimM^^dim T^ —p —^ + 2 für alle xeUuV, so daß / und g 1-vollständig bezüghch M sind.

Es sei nun peC^iU) mit O^p^l, p{x)=l, falls xeU-VodQV falls xeUnV und/(x)^g(x)+l; p(x) = 0, falls xeU nV und f{x)>g{x)-{-2. Für xeU-Vsei dann /i (x) =f{x), für xeU nV sei

/ i ( x ) = p(x)/(x) + (l-p(x))(g(x)+l),

für xeV—U sei /iW = g(x)+l. Dann ist /igC*(L/uF) eine funktion.

Weiter sei x^C'^iy) mit O^/^l; xM=h falls g{x)ufi{x)+l und xW = 0, falls g(x)>/i(x) + 2. Es sei dann

giW = xWgW+(i-zW)(/iW+i)

für xeV und giW=/iW+l für xeU—V. Auch gieC°°((7uF) ist dann eine Ausschöpfungsfunktion.

SeiiS'i : = { xeC / u K: gi(x)</i(x)+l}. S^ ist eine offene Umgebung der Menge {gi^/i}- Ist xgSi, so ist xeV, da giW=/i(x)+l für x^V. Wäre nun ;((х)ф1, so hätte man g(x)>/i(x)+1, also gi(x)^/i(x)+l, daO^x^l. Also ist i\S^ = l, gl I -^1 = g I -^1 und gl I Si 1-konvex bezüglich M.

Sei S'2 — {xeC/u F:/i(x)<gi(x)+l}. S2 ist eine offene Umgebung von {/^ ^gj. Es sei xgS2. Wäre хфи, so hätte man /i(x) = g(x)+l, also g(x)<gi(x). Wegen O^x^ 1 folgte dann /i(x)+1 >g(x), also ;бМ= 1 und somit gi(x) = g(x). Also ist xeU.

Wäre weiter р(х)Ф1, so hätte man xeL/n F und/(x)>g(x)+l und weiter /i(x)^g(x)+l, da O^p^l. Dann wäre x(x)=l, also/i(x)^gi(x)+l im spruch zu XGS2. Deshalb ist p 15^2 = 1 und /11 iS2 =/1S2 1-vollständig bezüglich M.

Nach Satz 2.2 ist nun UkjV 2-vollständig bezüglich M. Also ist U u V{p + q)- vollständig.

3 . Zulässige lineare Mengen

Ist A eine analytische Teilmenge von X, so soll eine Ausschöpfungsfunktion von X — A angegeben werden, die sich in der Nähe von A wie der negative Logarithmus einer Abstandsfunktion verhält. Insbesondere kann man in der Nähe von A die Leviform dieser Ausschöpfungsfunktion in den Richtungen kontrollieren, die parallel zu A liegen.