Algebraische Varietäten und g-vollstandige komplexe Räume

571

X — A l-vollständig bezüglich M"'=M\W—V ist. Nach Lemma 2.2 c) gibt es eine Ausschöpfungsfunktion geC^^X — A) mit

g> / i + ^,

die 1-konvex bezüglich M" ist.

T>2if^\ [ X — Ä)—Ü eine Ausschöpfungsfunktion ist, gibt es nach Lemma 2.2b) eine konvexe Funktion r mit r{d) = ô und rof2>g—f^ auf {X — A)—C.

Seien nun /—/i -^-rof^, U'••= Wu Vund M-=M\ U'. U' ist eine offene bung von C — A.

Die Funktion min(/, g) ist eine Ausschöpfungsfunktion von X — A. Ist хфи, so ist ro/2(x)>g(x)—/i(x), also f(x)>g{x). Deshalb ist {xEX — A'.f{x)^g{x)] dû.

Da Г0/2 schwach 1-konvex bezüglich M' und /^ 1-konvex bezüglich M' ist, gilt : / ist 1-konvex bezüglich M' = M | [7. Da M с M, folgt :

f\U ist 1-konvex bezüglich M.

Sei S:={X-A)-V. Ist xeX-A, хфЗ, so ist xeV—A, also /2{х)^о und somit g(x)>/,(x) + (5^/(x),dar(^) = (5.

Also gilt: S ist eine offene Umgebung der Menge {xeX — A:g{x)'^f{x)} in X-A. Weiter ist M = M\U\ also M|S = M|(7'n5. Da U'=VuW, folgt MIS с MI Ж- F с M", da M" = MI Ж- V ist. Also ist g 1-konvex bezüglich M | S und daher g\S 1-konvex bezüglich M.

Schließlich ist U eine Umgebung von {/ = g}, da (/с (7. Also gilt:

/ I C/u {/<g} ist 1-konvex bezüglich M, gl t/ u {g</} ist 1-konvex bezüglich M.

Nach Satz 2.2 gibt es eine lineare Menge Nc=.M über X, so daß N^ = M^, falls xeX—L/, dimiV^^dimM^—1 für alle xeX und X — A l-vollständig bezüglich N ist. Sei М^ = Я, falls xel/' und N^ = M^, falls xeX-l/', iV:=lJ N^. Dann

xeX

ist ATczM, N^ = M^ für xeX-(7' und dimiV^^dimM^-1 für xeU'. Weiter gilt: X —v4 ist l-vollständig bezüglich N\U'. Da (7' eine Umgebung von C-A ist, folgt: (C, Л) ist l-vollständig bezüglich N.

KoroUar . Ist {B, A) q-vollständig bezüglich M und (C, B, A) l-vollständig bezüglich M, so ist (C, Ä){q-\- lyvollständig bezüglich M.

Beweis . Nach den Bemerkungen zu Definition 1.3 gibt es eine lineare Menge M'czM über X mit dimM^^dimM^ —(j+1, so daß (ß, A) l-vollständig lich M' ist. Nach Satz 3.3 gibt es eine lineare Menge N über X mit dim N^ ^dimM^—1, so daß (C, Л) l-vollständig bezüglich N ist. Dann ist {C, A) (^+1)-vollständig bezüglich M.

4 . Komplemente in projektiven Kegeln

Seien z und w zwei verschiedene Punkte im projektiv-algebraischen Raum P„. Dann gibt es genau einen eindimensionalen linearen Raum, der z und w enthält, die komplexe Gerade g(z, w) durch z und w.