^ " ^^ R Gabriel

Beweis Die Spezialisierung von 3 ergibt folgendes in den Gliedern von g

l|Z|||=||Diag ( 3H - H3 ) ||| + ||3||| tr(H CZ,Z*]) = tr(H[3,3*]) + 2||Diag(3H-H3)|li ^^ ^^

Das setzt sich zusammen zu

g ( Z ) =ll3ll| - ||Diag ( 3H - H3 ) |li - tr ( H [ 3 , 3 * ] ) = /i(3) = /î(Z) D (3 7)

Im weiteren bezeichnen Tjj den in C„ x „ definierten Operator

Th Z-^ZH-HZ

Lemma 2. Die Form g{Z) gehört zm Operator Е+Тд Beweis Die hermitesche Form dieses Operators ist

tr [ ( Z + ZH-HZ) Z*] = ||Z||| + tr(HZ*Z)-tr(HZZ*)

= ||Z|||-tr(H[Z,Z*]) = g(Z) П (3 8)

Satz 3. Fur eine hermitesche Matrix H sind folgende Aussagen äquivalent

( I ) Die Matrizen G = D + DH-HD sind optimale ЛH-Matrizen fur alle nalmatrizen D

( II ) Es gilt

f { Z ) ^0 , ZZ*-Z*Z = 0 (3 9)

Beweis Die Bedingung (1) ist, auf Grund der Definition einer optimalen AH- Matrix, äquivalent mit

/ ( D , Z ) =||G-Z|||-||G-D||i^O (3 10)

fur alle normalen Matrizen Z und alle Diagonalmatrizen D Dies ist wiederum äquivalent mit

/ i ( Z ) =min/(Z),Z)^0, ZZ*-Z*Z = 0 (311)

D

Wir werden beweisen, daß /i(Z)=/(Z) gilt Setzen wir G = D + DH-HD m /(D, Z) ein, so erhalten wir

/ ( D , Z)= ||D|||-2Re{tr[Z)* Diag(Z + ZH-HZ)]} + \\Z\\l (3 12)

n

Mit der Bezeichnung а^ = г^и+ X (Kj^jk-hjkZkj) gewinnt/(D, Z) die Gestalt

j = i

/ ( D , Z ) = i:(Mfc|'-a,J,-a-,rf,)+||Z||| (3 13)

k = l