в . p. Haalmeijer. Über lineare homogene Punktmengen. 93

P^ in P^ überführt und den innerhalb AB gelegenen Teil von л in sich selbst.

Eine im weiteren Sinne homogene Punktmenge ist nicht notwendig im engeren Sinne homogen. Ein Beispiel bietet eine isolierte, lineare Punktmenge mit dem Ordnungstypus co*+<^- Jedoch gilt wohl das Umgekehrte, daß eine im engeren Sinne homogene Menge auch im weiteren Sinne homogen ist.

Beweis . Verfasser hat früher gezeigt^), daß man bei den formationen, die durch die Homogenität im engeren Sinne postuliert werden, sich auf solche beschränken kann, welche die Richtung invariant lassen. Sei nun n im engeren Sinne homogen in AB und P^, P^ je ein Punkt von u, wobei wir die Ordnung von links AP^P.,B annehmen. Sowohl der Teil von л innerhalb AP^ wie auch der Teil innerhalb AP^ kann mit invarianter Richtung auf den Teil von n innerhalb AB bildet werden und also auch die beiden erstgenannten Teile aufeinander. In gleicherweise der Teil von jc innerhalb P^ JS auf den innerhalb P^B. Da 7Г in AB dicht ist, ist hiermit konstruiert eine topologische formation des Segmentes AB in sich selbst, bei welcher P^ in P^ geht und der innerhalb AB gelegene Teil von л in sich selbst. Die Menge л ist also auch im weiteren Sinne homogen in AB.

Herr В r ou wer hat das Problem gestellt, alle Ordnungstypen von im weiteren Sinn homogenen linearen Punktmengen aufzufinden. Die Lösung dieses Problems, die gewiß zu unserer Einsicht in die Struktur des linearen Kontinuums beitragen würde, ist, soweit mir bekannt, noch nicht vollständig gegeben. Vorläufig ist es wahrscheinlich, daß eine im weiteren Sinn homogene Menge stets innere oder äußere Greiizmenge ist^). Sollte es gelingen, dies zu beweisen, dann wäre das Problem der lichen Ordnungstypen wohl bald erledigt.

Hauptzweck des Folgenden ist die Aufstellung der notwendigen und hinreichepiden Bedingungen, unter welchen eine im weiteren Sinn homogene Punktmenge auch im engeren Sinn homogen ist (Satz 2), ein Resultat, welches wahrscheinlich für die weitere Untersuchung von Belang sein wird.

Wenn nicht das Gegenteil erwähnt wird, verstehen wir unter homogen im nachfolgenden homogen im weiteren Sinn. Ferner lassen wir die trivialen Fälle außer Betracht, daß eine homogene Menge aus 1 oder 0 Punlden besteht.

Satz 1. Sei л homogen in AB und >c die Eomplementärmenge in bezug auf das offene Segment AB. Wenn auch % homogen in AB ist^)^

ö ) Wir beschränken uns stillschweigend immer auf den Teü der Menge, der innerhalb des Intervalls AB gelegen ist, für welches die Homogenität postuliert ist. **) Diese Bedingung ist nicht notwetdig.