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H . Weyl.

kürlichen von О verschiedenen Konstanten multipliziert wird; infolgedessen kann noch dafür gesorgt werden, daß in (4) die Koeffizienten s^ alle gleich 1 sind. Dann ist /8'*=^S, das neue Koordinatensystem ist wie das alte ein normales, und die Transformation u, welche den Übergang von dem einen zum andern vermittelt, gehört zu c.

Die Gruppe der in с enthaltenen unitären Transformationen werde mit Cy bezeichnet. Innerhalb c^ gilt die Gleichung (3) ausnahmslos:

Satz 2. Innerhalb der unttär beschränkten Komplexgruppe с г^^ jedes Element t mit der Diagonalmatrix seiner Multiplikatoren konjugiert.

Die Multiplikatoren €i, ei = — = e^ sind vom absoluten Betrag 1.

Nehmen wir zunächst wieder an, daß sie alle untereinander verschieden sind, so ist es bekanntlich möglich, die Gleichung (3) durch eine unitäre Transformation и zu erfüllen. Da die Koeffizientenmatrix S der Form S, mit der konjugiert-komplexen /S^Wiiltipliziert, die negative matrix — e ergibt, gilt, wie man sofort sieht, dasselbe für S*; darum smd die Koeffizienten s- in (4) vom absoluten Betrag 1 ; und indem man z.B. die neuen Grundvektoren el, e^, ..., e« mit geeigneten Konstanten vom absoluten Betrag 1 multipliziert, l^ann man alle s^ zu 1 machen, ohne den unitären Charakter des Koordinatensystems zu zerstören. — Der Satz überträgt sich auf jedes t, weil es zu einem Element von c^ stets beliebig benachbarte gibt, die lauter verschiedene Multiplikatoren besitzen, und weil die Mannigfaltigkeit c^,, auf welcher и variiert, geschlossen ist.

Aber auch auf direktem algebraischen Wege kann man die Ausnahmefälle umfassen, wenn man sich stützt auf den

Hilfssatz . Mne schiefsymmetrische Form Ä* geht dann und nur dann aus 8 durch eine unitäre Koordinatentransformation hervor, wenn ihre Koeffizientenmatrix selber unitär ist.

Wie S selber muß jede aus 8 durch unitäre Transformation entstandene Form >S* der Gleichung genügen: /S*S* = —e. Berücksichtigt man die schiefe metrie von 8^, so folgt daraus, daß die Koeffizientenmatrix von /S* unitär ist.

Es sei umgekehrt /S* eine schief symmetrische Form, deren Koeffizientenmatrix unitär ist; es gilt einzusehen, daß in einem unitären Koordinatensystem (das aus dem ursprünglichen durch .eine unitäre Transformation hervorgeht) 8* die form 8 annimmt. Die erste Zeile der Koeffizientenmatrix 8^ laute:

%=0 , «2, S3, ... . (д;^^ iMp^fciAtbj

Wir bilden die beiden Vektoren ^ ^

ei= ( l , 0, 0, ...),

Sie sind zueinander unitär-orthogonal: die Quadratsumme der absoluten Beträge in jeder der beiden Komponentenzeilen ist =1, und die Prod^ktsummp

1 • % -f 0 . s^ + 0 . S3 +... = 0 .