Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen. II.

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§2 .

Darstellnngen der Komplexgrappe : Infinitesimaler Teü*

Eine infinitesimale Transformation

( 7 )

к Ь

{ i , h = l,2,,..,n)

gehört zu с dann und nur dann, wenn

Q , ^ _). (у^^ = 0 , qI^ symmetrisch und g^^ symmetrisch ist. Die infinitesimale Komplexgruppe c*^ ist denonach eine lineare Schaj von

komplexen Parametern. Die allgemeine Hauptmatrix A(2i, Я^, ..., 1^) in с ^, deren Trlieder mit

2^ , lg, ..., Я^ ; — 2jL 5 l

'3 5 • • • 5

bezeichnet seien, durchläuft eine n-parametrige infinitesimale Abelsche Untergruppe von c^ Bildet man aus h und dem Element c, Formel (7), den Kommutator [fee] = Äc - cÄ, so erhält man die infinitesimale formation mit der Koeffizientenmatrix

Qijc { h — h) Qhik + h)

oh { k + h) aui-h+h)

Als Wurzeln treten daher auf:

^ =^ 4- 2. ± Я^ {г < к, alle vier Vorzeichenkombinationen) und o; = ± 2 Я^..

Man liest aus der Tabelle ohne weiteres ab, welches die zu diesen Wurzeln а gehörigen Elemente e« von c^ sind; und wir bekommen analog zu den Kompositionsformeln in § 2 des L Kajitels^^^ _

l [ ÄÄ' ] = 0, [Ae«] = a-e«, [eae-^-^J

Dabei ist Ä« im Falle а = ± X, ±l^li < k) dasjenige h, für welches Я, == ± 1, Я^ = ± 1, alle übrigen Я = 0 sind; im Falle a = ± 2â. aber besitzt ha die Parameterwerte: Я^=±1, die übrigen 1 = 0. Der Wert irgendeiner Linearform (8) Л = m^l^ + т^Яд + ... + m^l^