V . Jarnîk. Über die Gitterpunkte auf konvexen Kurven. 501

2 . Falls u^-^u' < u'^ ^ u^ ist, so ist

3 . {^l^\^F^)du£x.

Щ

Auf jeder Kurve С der Klasse L{x) liegt eine gewisse Anzahl g^ von Gitterpunkten; offenbar ist g^ ganz und 0 ^g^^[x] + l. Die Menge der Zahlen g^ für alle 0 der Klasse L{x) enthält daher nur endlich viele verschiedene Zahlen; ihre obere Grenze sei fix). Offenbar gibt es stens eine Kurve der Klasse L{x), auf welcher genau f{x) Gitterpunkte liegen. Dann lautet der

Satz 1.

f { x ) = ^xl + 0{x'^).

Der Satz 2 beschäftigt sich mit einer verwandten Frage; nur werden andere Kurven zur Konkurrenz zugelassen. Der wichtigste Unterschied zwischen Satz 1 und Satz 2 besteht in einer Einschränkung der Größe des Krümmungsradius für die zugelassenen Kurven. Der genaue Wortlaut des Satzes 2 ist der folgende:

Es sei x>0. Ich bezeichne als eine Kurve der Klasse M{x) jede Kurve 0 der w-i?-Ebene, die folgenden Voraussetzungen genügt:

1 . 0 ist eine einfache, geschlossene, konvexe Kurve, die eine stetig veränderliche Tangente und einen stetig veränderlichen, immer von 0 schiedenen Krümmungsradius besitzt.

2 . Die Länge der Kurve С ist höchstens gleich x.

3 . Der Krümmungsradius von G ist in jedem Punkte dem absoluten Betrage nach kleiner als 7x.

Auf jeder Kurve G der Klasse M(x) liegt eine gewisse Anzahl g^ von Gitterpunkten; die obere Grenze von g^ für alle G der Klasse M{x) Ш (p{x); es gibt auch hier offenbar mindestens eine Kurve der Klasse M{x), auf welcher genau ç>{x) Gitterpunkte liegen. Dann lautet der

Satz 2.

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§2 . Beweis des Satzes 1.

Um den Satz 1 zu beweisen, führe ich zunächst folgende Definition ein: Es sei x>3; ein System von n verschiedenen Punkten (n^2) der u-v-ЕЪепе P^, P^, ..., P„ nenne ich ein 5ß(ж)-System, wenn folgendes gilt: