Algebraische Zahlkörper mit auflösbarer Galoisscher Gruppe. 341

& ' speziell die Kommutatorgruppe von (^ (®'' die von ö',...), da sie aus allen Kommutatoren: S~^ T~^ ST je zweier Elemente von ® erzeugt

wird . Ebenso heiße — der Kommutatorfaktor von &. ©'

Ist noch (Si<"-^) + ^, aber Q^^") = J5, so heiße ® eine n-stufige Gruppe.

Wir wollen hier nur erst die zweistufigen (metabelschen) Gruppen oder überhaupt den Fall von Gruppentypen © [> Щ [> ^ betrachten, wo

- TT - und ^ Abelsch sind. Es soll im allgemeinen nicht verlangt werden,

daß И die Kommutatorgruppe von & sei; für viele Fälle wäre dies sogar unvorteilhaft. Natürlich entsteht dadurch die Möglichkeit, daß einige Typen von zweistufigen Gruppen auf mehrfache Weise behandelt werden. falls ist aber jeder Typus einer zweistufigen Gruppe unter der Form & \> 'й ï> E enthalten (auch die Abelschen Gruppen selbst, von denen wir ausgehen).

Die Behandlung der zweistufigen Gruppen kann nun in der W^eise erfolgen, daß man sie auf gewisse Haupttypen zurückführt und diese dann ausreichend charakterisiert. Dabei sei unter einer Reduktion auf speziellere Gruppentypen folgendes verstanden : 1. Zerspaltung einer Gruppe &î>'$iï> E

und 91 Abelsch j über ^. in ein relatives Produkt. 2. Darsteilimg einer

Gruppe & als Faktorgruppe einer andern. Die erste Reduktion bedeutet eine wirkliche Vereinfachung; die zweite nur eine Vereinheitlichung mit dem Erfolg, daß man sich auf gewisse maximale Typen beschränken kann. Die beiden angegebenen Gruppenreduktionen reduzieren zugleich die gabe, Körper zu den betreffenden Gruppen zu konstruieren ; die allgemeineren Körpertypen steilen sich hier als Produktkörper bzw. Unterkörper der spezielleren dar.

Eine Reduktion kann man nun mit der allgemeinen Gruppe &t>'ut> E ,^ und 91 Abelsch) sofort vornehmen: Sind l^^\ l^'\ ..., l^**^ die schiedenen in der Ordnung von % aufgehenden Primzahlen, so kann man 91 = 9ïi X ^ï« X ... >< 9l„ zerlegen, wobei 91^ (y = 1 ... w) die Elemente von 9t umfaßt, deren Ordnung eine Potenz von Z*'^ ist. Jedes 91^ ist dann ofienbar eine invariante Untergruppe von &, da jedes Element von 91 bei Transformation wieder nur in ein Element gleicher Ordnung aus 9t gehen kann, ebenso jedes 9t,' = 779fg, das aus allen Elementen von 9t

besteht , deren Ordnung zu l^"^ teilerfremd ist, und für das 9t, >< 9t^ = 9t gilt. Es ist darum & das relative Produkt der Gruppen —y (v~l ... n) über - . Das heißt aber : Es коплеп alle zweistufigen Gruppen als bekannt