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sind . Mit HiKe von Sätzen aus Grothbndieck [2], Kap. II, zeigt man leicht die fo%ende Variante des Bewertungskriteriums für eigentliche Morphismen : Es sei Z ein Schema über 8 und U eine offene und dichte Teilmenge von Z, Z ist eigentlich über S, wenn für jeden diskreten Bewertungsring F mit dem körper К und jedes Diagramm

Spec ( jr ) - - >C7 - »Z

1 i

Spec ( F ) - - - - - - - - - ► 8

ein Morphismus Spec(F) ~> Z existiert, so daß das resultierende Diagramm kommu- tativ wird.

Wir zeigen weiter unten, daß HJ dicht in Hg ist. Daraus folgt leicht, daß die offene Teilmenge von Isom^ (X, У), die glatten Kurven entspricht, dicht ist. Folgender Satz zeigt, daß das Bewertungskriterium erfüllt ist.

4 . 6 . Satz. Es sei V ein diskreter Bewertungsring; s und rj seien der spezielle und der allgemeine Punkt von Spec (F). Es seien femer X und Y stabile Kurven über Spec (F), deren allgemeine Fasern glatt sind. Dann kann man jeden Isomorphismus (prj : X^^ -> F^ zu einem Morphismus ç? : X -> Y erweitem.

Wir bemerken nachträglich, daß aus 4.6. folgt, daß die Bedingung „X^ und F,^ glatt" überflüssig ist.

Beweis . Da X^i nur gewöhnliche Doppelpunkte hat, haben die Singularitäten von X die Form ж • t/ = я**, wobei л ein lokaler Parameter von F ist. Aus der Bedingung „X,j glatt** folgt n^ 1. Bläst man die Singularitäten auf, so erhält man folgende Konstellation von n — 1 projektiven Geraden :

Nach Aufblasung aller Singularitäten von X erhält man daher eine freie Fläche ohne ausgezeichnete Kurven erster Art, also das minimale Modell von X^. Umgekehrt erhält man X aus dem minimalen Modell in eindeutiger Weise, indem man alle Kurven, die in einer Konstellation der angegebenen Art vorkommen, zusammenbläst. Da (p^: X^-^ Y^ einen Isomorphismus der minimalen Modelle induziert, erhält man den gewünschten Isomorphismus q>: X -^ Y.

Analog zu 2.4, erhält .man aus 4.6.

4 . 7 . Satz. Das Feld Mg der stabilen Kurven ist algebraisch.

Wir kommen jetzt zum entscheidenden Punkt der Theorie der stabilen Kurven.

4 . 8 . Satz (über stabile Reduktion). Es sei V ein diskreter Bewertungsring mit dem QuMientenkdrpar iT, und С sei eine geometrisch irreduzible glatte Kurve über K. Dann existiert eine enMiàie Erweü^ung K' von К und eine stabile Kurve С über dem ganzen Abschluß F' von V in K% deren oMgemeine Faser isomorph zu G ®я К' ist.