142 Hbihz-Jôbo FiTZHiB a. a.

rang A -^ В keine entarteten Fasern. Nach der Klassifikation der kompakten plexen Mächen ist А dann eine abelsche Mannigfaltigkeit. Wir können voraussetzen, daß das Gmppengesetz auf А so gewählt sei, daß ç? ein Homomorphismus ist. bar ist dann X die Kummersche Fläche, die zu A assoziiert ist.

6 . 2 , Wir benötigen einige Tatsachen aus der Topologie der Kummerschen Flächen, die wir ohne Beweis angeben.

Es sei A eine abelsche Mannigfaltigkeit der Dimension 2 und N die Menge der Zweiteilungspunkte. Weiter sei X die zu A assoziierte Kummersche Fläche. Wir haben eine Abbildung A •— N --^ X und daher in der Homologie

НААЛ )

Es sei пх cz Я2(Х, Z) das Gitter, daß von den 16 ausgezeichneten Geraden erzeugt wird. Dann ist das orthogonale Komplement von лд- das Gitter я^ЯаИ, Z). Es sei Ç? ein Automorphismus von HziX, Z), der auf jt^HziA, Z) die Identität ist und eine der ausgearteten Geraden invariant läßt. Dann ist <p die Identität.

Beweis von 4.1. Ohne große Schwierigkeiten zeigt man, daß y) Kummersche toren auf Kummersche Vektoren abbildet. Daraus erhält man nach 6.1., daß X' speziell kummersch ist und daß fp(nx) cz пх' ist. Dann induziert %pi einen mus der orthogonalen Komplemente xpi : H^{A, Z) -^H^iA', Z), der ebenfalls effektive Divisoren und das Schnittprodukt respektiert. Wir werden weiter unten sehen, daß Щ durch einen Morphismus (pii А -> A' induziert wird.

Es sei l die ausgezeichnete Gerade aus жх, die dem Nullpunkt von А entspricht. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß xp{l) dem Nullpunkt von A* entspricht.

Der Moiphismus щ induziert einen Morphismus q>:X-^X\ Es sei ç>^:H2(X, Z) ->Яа(Х', Z) die induzierte Abbildung in der Kohomologie. Da ç)^(î) = y(ï) ist und с?ф und %p auf H^^iA, Z) übereinstimmen, müssen ç) und tp nach den Bemerkungen von 4.9. übereinstimmen.

5 . 3 * Lemma. Es seien Ai und A^ zweidimensionale abeUche Mannigfattigkeüen. Es sei ^it^aHi, Z)-^ЯзС^а, Z) ein Isomorphismus, der das Skalarprodukt und die Perioden respektiert und effektive Divisoren auf effektive Divisoren abbildet. Dann wird ^1 durch einen Isomorphismus abelscher Mannigfaltigkeiten ç?i : Ai -^ A^ ziert.

Beweis . Es sei Ay = С*/А, A^ = O/A» 4^ •••, CiCine Z-Basis von A und Д,..., Д eine Z-Basis von Г%, Dann ist

yj -= ei л 62, У2 = вз Л 64, Уз ^ ßi Л бз,

У4 = «4 Л ва, П = в1 Л е^у y^^e^h. е^

eine Z-Basis von Яа(^4, Z), und analog erhält man eine Z-Basis dj,..., ^e von ЯзИа, Z).

Es sei J' die Schnittmatrix von yi,..., ув «nd di,..., dg. Die das Schnittprodukt tenden Isomorphismen %p\R^{Ax, R) ->Я2(^12, R) ent^rechen bijektiv den Elementen