Halbierungssätze zur Gestaltabweichung ebener Figuren 61

3 . Der Halbieruiigssatz für symmetrische Differenz von Ovalen

Ks sei M ein üval. Dann hat M bekanntlieh (s. etwa [5]) eine Randkurve c, die in ledern ihrer Punkte die beiden einseitigen Tangenten besitzt. Ferner folgt leicht: 1st /j ein innerer Punkt von 3Î und wählt man ein 9?,r-Polarkoordinaten8ysteni mit dem \nfangspunkt Z, so gibt es eine Funktion

r = Q(q) ((p € [0, 27tl q(0) = g{27i), (>{(p) > 0 für alle <p € 10, 2я]),

die die Randkurve с besehreibt. Denkt man sich Q{(p) periodisch fortgesetzt und damit auch 0 und 2л als innere Werte des Definitionsbereiches aufgefaßt, so besitzt д(<р) an jeder Stelle (f des Definitionsbereiehes die beiden einseitigen Ableitungen, b^benso folgt, wenn К{1) ab jetzt als Oval vorausgesetzt wird: Es gibt eine Funktion

r - a(<p) (f € [0, 2я], (7(0) = <7(2я), a{(p) > 0 für alle 9? € [0, 2jr]),

die die Randkurve k{i) von iiL(l) besehreibt. Auch a{q)) besitzt an jeder Stelle q) des Definitionsbereiehes die beiden einseitigen Ableitungen.

Insbesondere ist a{(p) stetig, so daß sich statt des Parameters 99 der doppelte Fläehen- uihalt eine^s Sektors aus K{1) als Parameter einführen läßt: Es existiert

ЯР

t = t{<f) = / a{uf du (q) € [0, 2n]) 0

als streng monoton steigende Funktion mit der Ableitung t'{(p) = a{q))^ und ist somit umkehrbar zu einer im Mntervall [0, T] (mit T := t(2n)) definierten, streng monoton steigenden Funktion <p = q)(t) mit überall positiver Ableitung (p(t). Hiermit <^ntsteht für ^(1) die Parameterdarstellung

м . . : { г : : ; у «ею,п..

Mit demselben Parameter sei auch с dargestellt :

Oeht weiterhin für reelles s > 0 das Oval K(8) bzw. seine Randkurve k(s) aus K(i) bzw. k{l) durch Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor s hervor, so hat k(s) die Parameterdarstellung

Ein Punkt von k{s), der sich hierbei aus einem Parameterwert t ergibt, liegt genau dann außerhalb M, wenn

sa ( ( p ( t ) ) > Q((p(t)) (*)

gilt . Definiert man

a { ( p { t ) )

so ist folglich das Maß m{8) der Menge aller Parameterwerte t mit der Eigenschaft (*) auch das Maß der Menge aller t mit

f ( t ) < s. (**)