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G endliche Gruppe; F\G) = Fittinggruppe von G\G' = Kommutatorgruppe von ö; |в| = Ordnung von G; H ^G (bzw. Я < ö): Я ist Untergruppe (bzw. echte gruppe) von G; AutG = Automorphismengruppe von ö; F^G: F ist verteiler von G; e = Einheitselement der jeweils betrachteten abstrakten Gruppe; Cg(MIN) := {xeG\ x-4xN = aN für alle a € M}, wobei M,N^GmitM ^ N; {K) = Erzeugnis des Komplexes К in G; p = Primzahl; i^/^ = Restklassenring modulo jp*, wobei p eine aus dem jeweiligen Zusammenhang hervorgehende zahl und h eine natürliche Zahl (^ 1) ist; Z = Ring der ganzen rationalen Zahlen; [а]л = Restklasse von а in Z modulo^*; für eine quadratische Matrix G bzw. Matrixgruppe i) über Ä^ bzw. über Z bezeichne C* bzw. t)* die modulo p reduzierte Matrix bzw. Matrixgruppe (vgl. auch (2.6) in Steffen [8], S. 16) ; grad С = Grad der Matrix C; а | 6 (a, Ь € Z): а teilt b; а Jfb: а teilt nicht 6.

1 . In diesem Abschnitt sollen einige Hilfsmittel zusammengestellt werden. Zunächst geben wir einige Kriterien für das Eintreten der Beziehung ö' ^ F{G) an. Wir können feststellen, daß ö' < F(G) nur dann gelten kann, wenn F(G) einen Normalteiler N von 6? mit \F(G)IN\ = p und Cg{F(G)IN) = G enthält, d. h., wenn G auf dem Hauptfaktor F(G)IN die triviale Darstellung des Grades 1 erfährt. Damit haben wir eine notwendige Bedingung gefunden, die im allgemeinen aber noch nicht hinreichend ist,

S & tz 1, Es sei G' ^ Jf <ci ö. Genau dann ist G' < M, wenn ein Normalteiler N von G und eine Primzahl p existieren, so daß Cg(MIN) = G und P' ^ N für eine p-Sylow- дгщрре P von G gilt.

Beweis . Es sei G' < M. Dann existiert zwischen ö' und M ein Normalteiler N von ö mit \MIN\ = p. Es gilt Gg(MIN) = ö, und GIN ist abelsch. Mithin ist auch PN IN abelsch für irgendeine p-Sylowgruppe P von G. Wegen PN IN ^ PIP n N muß PIP n N ebenfalls abelsch sein. Also gilt P' -^P (\N. Dieses ist tend mit P' ^ N. Mögen nun umgekehrt in M ein Normalteiler N von G mit Cg(MIN) = G und eine Primzahl p existieren, so daß P' ^ N für irgendeine p-Sylow- gruppe P von Ö gilt. Dann gibt es auch einen Normalteiler Ni von G mit \MINi\ = p, Cg(MINi) == G und P* ^ Ni, PNiINi ist eineP-Sylowgruppe von ö/iV^i, und diese ist abelsch, da PNtlN ^ PIP n Ni gilt und PIP n N^ abelsch ist wegen P' ^ P n N^. Offensichtlich muß jede g-Sylowgruppe von GINi für eine von p verschiedene zahl q isomorph zu der g-Sylowgruppe von Ö/Jf und damit abelsch sein. Zudem den wir jetzt sehen, daß ö/iVi nilpotent ist. Wegen der Voraussetzung Cg(MIN) == G liegt Jf/iVi im Zentrum ZINi von ö/iVi. Da GJM wegen G' ^ M abelsch ist, muß (GIN)l{ZINi) ^ GIZ ebenfalls abelsch sein. Damit ist GjN^ ^ ZIN^ > N^INi die aufsteigende Zentralreihe von ö/iV^i und ö/iV^i nilpotent. Als direktes Produkt von abelechen Sylowgruppen ist nun GINi abelsch, d. h., es gilt G' -^ Ni, Wegen \MINi\ = p liegt Ni und damit auch G' echt in M.

Folgerung 1. Es sei ö' ^ M. Es gebe eine Primzahl p derart, daß in M ein Normal- teikr N von G mit \MIN\ = p enthalten ist, Cg(MIN) = G gilt und weiterhin M in P • M kom^lementierbar ist, wobei P eins gewisse pSylowgrv/ppe von G bezeichne. Dann giü ö' < M.

Beweis . Nach Voraussetzung gibt es in P • MIN = PNIN offensichtlich ein plement KIN zu MIN. Da \MIN\ = p war, muß nun dieses Komplement den Index p unter PNIN haben. Als maximale Untergruppe der nilpotenten Gruppe PNIN ist