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Die für S^ und S^ gefundenen Werte in die Gleichung :

0 - 6 {S, -y S,) eingesetzt, ergibt :

ГЛ о r^ i> I 41 ,, \ 17 ,,

oder : (13)

{ ) -^ ' p Jt — -— . \jtp. 12 48

17 Der Oberßächoiinhalt der AstroidenfiäcJie ist also gleich -j-^ der Oberfläclie

4 : 0

der der Astroidenfläclie uniscJiriebenen Kugel.

§ 5. Parameterdarstellung und Krümmung der Fläche.

Betrachten wir die Astroidenfläche, als die Enveloppe der Ellipsoidenschar :

x^ ip z^

- Ту -У i^ A-----г = 1, wo а, b, с veränderliche Parameter bedeuten, welche die

Gleichung \ а-уь-У c^^l=^ konstant erfüllen, so lassen sich die Flächengleichungen,

wie wir es schon in § 1 gesehen haben, auf folgende Form bringen:

a'h b'h {l — a~~ bVh /r. — ,i — — z -~----------------------

" Z^^ ' '^ ~ Ph ' "~ Ph

Ersetzt man in den obigen Gleichungen а durch и und b durch v, so erhält man folgende Parameterdarstellung der Fläche:

u'h v''2 {i^-u — vYh ,,,,

' - Th-^ '^- ZV2^ ' =-------ZTT—• (1^)

Die Parameterkurven и ^^ konstant und v = kofistant sind reguläre Astroiden^ die in den zur (yz) bezüglich {xz) Ebene parallelen Ebene liegen; die dritte Schar der regulären Astroiden, die in den zur (xy) Ebene parallelen Ebenen liegen, hat die Gleichung:

l — и — V =^ konstant.

Für и =- 0, i' ^ ^ 0 und Z — и — г; :== 0 erhält man speziell die 3 in den Koordinatenebenen liegenden Doppelkurven der Fläche.

Die Parameter и und v in der Gleichung {14) können nur positive Werte nehmen, dabei muss stets folgende Bedingungsgleichung erfüllt sein:

( ^ ^u -y V ^l,

denn nur dann sind die entsprechenden Flächenpunkte reell.

Jedem Wertepaar der Parameter и und v entsprechen 8 Punkte der Fläche, die in verschiedenen Oktanten liegen.

Der Ort der Flächenpunkte, für welche v = и ist, sind 2 Astroiden, die in den durch die z Axe gehenden Ebenen y = + x liegen. Die Axen dieser Astroiden sind von der Länge 2 Z bezüglich Z.