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formen Transformationen im Räume gibt, nämlich die Transformation durch reziproke Radien. Denn jede Aehnlichkeitstransformation ist valent der Aufeinanderfolge zweier Transformationen durch reziproke Radien mit demselben Pol und verschiedenem Modul, und nach Liouvilles Satze ist daher jede forme Transformation des Raumes entweder direkt eine Transformation durch reziproke Radien oder aber äquivalent der Aufein- anderfolgemehrererTransformationen durch reziproke Radi en.

Alle konformen Transformationen des Raumes bilden eine endliche kontinuierhche Transformationsgruppe in Lies Sinne und zwar eine zehngHedrige. Diese Gruppe ist auf das eingehendste von Lie (z. B. in der „Geometrie der Berührungstransformationen^^, 1. Bd., Leipzig, 1896) sucht worden und steht in engster Beziehung zu wichtigen anderen Gruppen.

Im Jahre 1858 hat T. A. Hirst in dem Aufsatz „On equally attracting Bodies^^ (Philosophical Magazine, t. 16, 1858, p. 164) die eingangs erwähnten elementaren schaften der Inversion-nochmals angegeben. Eine eingehende Theorie der Abbildung von Kurven und Flächen durch reziproke Radien enthält die Arbeit von Pirondini im Giornale di matematiche, Bd. 27, 1889, die den Titel führt: „Sulla trasfcrmazione per raggi vettori reciproci^^ (p. 168—223). Zwei Jahre darauf hat R. Mehmke die „ schaften der räumUchen Inversion^^ ohne Beweis in den Mitteilungen des math.-naturw. Vereins zu Württemberg von Böklen, Bd.flV, p. 36—43 veröffentlicht. Bezeichnen q, q" die Hauptkrümmungsradien der Ausgangsfläche im Punkte X, y, z; öj, ^/' die der inversen Fläche im Punkte x^, y^, z^ so ist nach Pirondini:

- ^ =:= — f-^ + 2 r cos mV -^ = -(^ -^ 2tcos m]