§ 10. Vermeiden höherer Singularitäten.

Außer den in den vorigen Paragraphen behandelten ritäten müssen wir bei unserem Variationsverfahren noch folgende Singularitäten in Betracht ziehen:

1 ) Die beiden variablen Doppelpunkte können auf dem Oval zusammenfallen und hier eine Schnabelspitze bilden, d. h. eine solche Art der Selbstberührung, in der auf den beiden sich berührenden Zweigen nicht nur die Tangenten, sondern auch die kreise zusammenfallen.

2 ) Die beiden variablen Doppelpunkte können, wenn sie ginär sind, in Spitzen übergehen.

3 ) Die beiden variablen Doppelpunkte können gleichzeitig an einen der festen Doppelpunkte heranrücken und hier einen Osku- lationsknoten bilden.

4 ) Der eine der variablen Doppelpunkte kann an einen festen Doppelpunkt, der zweite variable Doppelpunkt gleichzeitig an einen anderen festen Doppelpunkt heranrücken, so daß wir zu einer Kurve gelangen, welche an zwei verschiedenen Stellen berührung besitzt.

Das Vorkommen der unter 1) ... 4) genannten Singularitäten können wir jedoch vermeiden, wenn wir den 8 festen punkten eine geeignete Lage geben. Das ersieht man aus der folgenden Ueberlegung:

Wenn wir der Kurvenschar 6^ Ordnung

F { xij ) = g(xy) + af,ix'y) + a'f,{xif)+^'^ = 0

26 Bedingungen dadurch auferlegen, daß sie 8 feste und 2 variable Doppelpunkte besitzen soll, so kann e immer noch einen solchen Wert annehmen, daß die zugehörige Kurve eine Singularität sitzt, die zu den vorhandenen 26 Bedingungen gerade noch eine Bedingung hinzufügt. Das Auftreten der einfachen Selbstberührung läßt sich daher nicht vermeiden. Denn die Forderung, daß die Kurve eine Selbstberührung besitzen soll, ist einer Bedingung mehr aequivalent als die Forderung, daß die Kurve zwei getrennte Doppelpunkte besitzen soll. Und ebenso ist die Forderung, daß die Kurve in einem festen Punkt eine Selbstberührung haben soll, einer Bedingung mehr aequivalent als die F-orderung, daß sie an dieser SteUe einen Doppelpunkt und außerdem noch einen punkt haben soU. Jede Singularität, die mehr als eine Bedingung