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von cos X genügt jedoch keiner Lipschitz-Bedingung in Bezug auf ihr Argument; die Differenz \x^-x^\, welche in der schon gestellten Lipschitz-Bedingung vorkommt, kann jedes Vielfache von |cosa:,~cosrrJ übertreffen. Aber i{x) genügt noch einer Symmetriebedingung, nämlich %{%-x) ^ x{x\ und ist demzufolge auch eine eindeutige Punktion von sin x, = ti) (sin x). Diese Punktion genügt nun in der Tat einer Lipschitz-Bedingung in Bezug auf ihr Argument, da sie in der Nähe der gefährlichen Punkte, wo

- ^sinrz ; = 0 ist, den konstanten Wert 0 hat. Seien sin л;,, sinrc^

irgend zwei Werte von sin x. Wir können annehmen, daß x, und

x^ dem Intervalle f—"2"? "2') angehören, und zwar im ungünstigsten

Palle , da % {x) nur in Punkten solcher Intervalle von 0 verschieden

ist , wo I cos o; I > cos -^ ist, daß die Ungleichungen

bestehen . Wir haben dann

[ sina ; ^ —sina;J = |^j--^;J|cos ||, x.^l^x^ (bezw. x^<l<x,),

>|Ä : , ~ . ^JC0S - g - = -^\X^-X,\]

|'^ ( sin^ ; , ) - ^ ( sina ? Jl = \%{^,)-'%{x,)\ < ^ l^a —^il ^|sina?j —sin^îj; -ф genügt also dieser Lipschitz-Bedinguлg.

Man nehme an, es wäre für die Darstellung von ipix) im

Intervalle — 1 < л; ^ 1 durch Polynome, tpip {n) = 0 (—|. Wenn

wir als Argument von -ф wieder sin л; schreiben, würde diese nahme besagen, daß ф (sin x) mit der genannten Ordnung der Gre- nauigkeit durch eine Folge von Polynomen in sin x dargesteHt werden kann, also, nach Hilfssatz I b, durch eine Folge von nometrischen Summen in x. Das ist, wie wir wissen, eben nicht möglich. Es ist also il){x) tatsächlich eine Funktion von x^ die

einer Lipschitz-Bedingung genügt, und für die (p^t^in) nicht 0 f—|

ist . Wir haben hier das spezielle Intervall (—1,1) vor Augen gehabt; aber, wie schon bemerkt worden, läßt sich der Satz sofort auf ein beliebiges Intervall übertragen.

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