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und vierten Grades und

so gelten die folgenden Sätze:

I . Wenn die Gleichungen S2 = 0 und 8^ = 0 zwei gemeinschaftliche Wurzeln haben у d. h, wenn S^ Factor von S^ ist^ so verschwindet die Co- variante C3 identisch^ und umgekehrt.

Ferner :

IL Die aus C3 gebildete Covariante C^ hat den Werth:

( 7 . ) C, - —UR.Sl,

wo R=^0 die Bedingung ist^ dass S^=^0 und S3 — 0 eine gemeinschaftliche Wurzel haben.

Um die angegebenen Sätze zu beweisen, will ich annehmen, dass durch lineare Substitution S2 übergegangen sei in

( 8 . ) . «2 - 2aJ'7f, ferner, dass dieselbe Substitution S3 übergeführt habe in

S3 - b,è^4mê''r/+Sb'J'if + b'sv' und dass r die Substitutionsdeterminante sei. Haben C^, C3, J'^ К für die transformirten Formen S'^ und S3 dieselbe Bedeutung, wie die entsprechenden für die ursprünglichen, so ist:

folglich

c ; - 3s;c;^4s;^' - ^a,\b[;e-vb',ri') = ec,.

Die Bedingung, dass S^ Factor von S3 sei, ist, wie man sich sofort überzeugt, dass bli^'^ + b'^tj'^ = 0 werde. Dann aber folgt C3 === 0 und also auch C3 = 0, weil r nicht verschwinden darf.

Umgekehrt ergiebt sich sofort, dass wenn C3 = 0 ist, auch C3 ™ 0 wird; also, wegen bl^è'^+b'^i]'^ = 0 wird So Factor von S3 und desshalb auch S2 Factor von S3.

Damit ist der erste Satz bewiesen. Um nun auch die Richtigkeit

— - — ^^

^ ) Clebsch, Theorie der binären algebraischen Formen p. 94.