Po dijelovima linearna topologija

221

ako je /7 < m—3, gdJ2 je /7=dim P, m=iim M, i nadalje, par (M, U) je bar /?-po- vezan, tj. za relativne grupe hDmotopije vrijedi тгДМ, U)=0, za svaki / <p. Odatle odmah slijedi vazan rezultat, da je u /r-povezanoj mnogostrukosti M svaki poliedar, öija dimenzija ne premasuje k, sadrzan u nekoj PL celiji, tj. da su uz /: < m—3 algebarski i geometrijski koncept о povezanosti ekvivalentni. Taj teorem jasno pokazuje, da ce se tehnika gutanja uspjesno primjenjivati u slozenijim situacijama, koje mogu nastupiti u teoriji cijevi.

Kazimo jos, da se uz pomoc gornjeg teorema vrlo jednostavno dokazuje slaba Poincaré-ova hipoteza u dimenzijama w ^ 5, tj. tvrdnja, da je PL m-mnogo- strukost, koja je homotopskog tipa m-sfere i homeomorfna (topolo§ki, ne PL) standardnoj m-sferi. Problem je otvoren za w=3,4; to je klasicna Poincaré-ova hipoteza, jedan od najcuvenijih nerijesenih problema u topologiji.

Vrlo iscrpne informacije о teoriji opceg polo2aja kao i о teoriji gutanja mogu se naci u [12] i [45].

Konacno , kazimo nekoliko rijeci о teoriji tijela s nickama (engleski: handle- body). Poznato je, da se svaka 2-mnogostrukost moze kanonski prikazati na taj nacin, da se na sferu »sasije« izvjestan broj rucaka i Möbius-ovih vrpca. To je kla- sicni klasifikacioni teorem Я. jR. Brahane iz 1922. god. (dokaz vidi npr. u [25]). Neka vrsta takvog standardnog prikaza postoji i za mnogostrukosti visih dimenzija.

Neka je I^=Ip xl^, p+q=m, standardni w-kub, prikazan kao produkt kubova. Rub od Z'« se onda moze pisati uz pomoc »derivacione formule« kao

Bd I^ = {BdlPxl9){j{rPxBdl9),

gdje je Bd /^ dakako PL {k—l)-sfera 5^"^. Neka je M PL m-mnogostrukost s ru- bom, i nadalje neka je

N = M\JHP

gdje je HP definiran homeomorfizmom

h\lPxl<i^HP

i uvjetom

h {SP-^ X /«) = Я^ n MdBd M.

Onda je N takoder PL m-mnogostrukost, za koju kazemo da je dobivena iz M dodavanjem rucke indeksa p ili krace p-rucke №. Primijetimo, da je ruöka svakog indeksa PL m-celija, a broj p je znLcJan jer ukazuje, na koji je nacin rLcka Hp »sasivena« na Bd M. Taj tzv. pricvrsni dio rucke je za svaki /7=1, 2, .... m vijenac oblika

h { SP - ^xI<i ) c . BdHP .

Neka je npr. m=3. Za 0-rucku pricvrsni je dio prazan, a za 1-rucku to je disjunktni par diskova, tj. radi se о normalnoj rucki. 2-ru6ka ima za pricvrsni dio vijenac S^Xl, а 3-ru6ka je sasivena cijelim rubom Bd B^=S^ (Sl. 18). Kazemo, da PL

Sl . 18