Po dijelovima linearna topologija

229

dekompoziciju dopu§ta (vidi III), M oöito nije homeomorfna PL mnogostrukosti. Odatle se mnozenjem

M X 51 X ... X S^

/ t - 4

dobivaju primjeri topolo§kih mnogostrukosti bez PL strukture i u svakoj dimenziji n > 5. Zanimljivo je, da te mnogostrukosti nisu öak ni homotopskog tipa PL gostrukosti. Prema tome, teorija topoloskih mnogostrukosti je bitno §ira i zahtijeva poseban studij.

Ostaje ipak Jos jedan problem, koji je Siebenmann [31] diskutirao u predavanju pod sokantnim naslovom »Da li su netriangulabilne mnogostrukosti (ipak) trian- gulabilne?« Naime, u PL kategoriji se pojavljuju i mnogostrukosti, formalno gene- ralnije od PL mnogostrukosti. To su poHedri, koji su ujedno topolo§ke kosti. Zovemo ih triangulirane mnogostrukosti. Radi se о hibridu, koji je sa stanoviSta kategorije samo poliedar, jer karakteristicno svojstvo za mnogostrukost nije opi- sano PL jezikom. Hipoteza je dakako, da je svaka triangulirana mnogostrukost zapravo PL mnogostrukost tj. da ju je moguce triangulirati kompleksom, koji ima strukturu kombinatorne mnogostrukosti.

Topoloska mnogostrukost je triangulabilna, ako je topoloSki ekvivalentna trianguliranoj mnogostrukosti, dakle homeomorfna poliedru. Taj homeomofrizam snabdjeva naime mnogostrukost (krivocrtnom) triangulacijom (Sl. 6). Klasiöna je hipoteza, stara koliko i topologija, da je svaka topoloska mnogostrukost angulabilna. Na toj je Uniji dosta uöinjeno, a u piilog hipotezi je i (takoder nedavni) rezultat, da je svaka mnogostrukost homotopskog tipa poliedra [18]. Jasno je da eventualne kandidate za protuprimjere hipotezi о triangulaciji treba traziti medu upravo spomenutim mnogostrukostima Kirby-Siebenmannovog tipa. Те strukosti ne dopustaju PL triangulaciju, a da li su uopce triangulabilne iH nisu, otvoreno je pitanje. То je dilema u naslovu Siebenmann-ovog predavanja. Pri- mijetimo, da u svjetlu tih primjera bar jedna od dviju spomenutih hipoteza pada. Ako je naime istina da je svaka triangulacija PL triangulacija, to su protuprimjeri hipotezi о triangulaciji, а ako je ta hipoteza istinita, isti primjeri pokazuju, da tri- anguhrana mnogostrukost ne mora nuzno imati PL strukturu.

Vrijedno je jo§ spomenuti interesantan odnos izmedu gornjih hipoteza i kla- sicne Poincaré-ove hipoteze (vidi II). L. С Glaser je nedavno dokazao [8], da je Poincaré-ova hipoteza istinita onda i samo onda, ako je svaka triangulacija PL triangulacija. То povlaci, da Poincaré-ova hipoteza ru§i hipotezu о triangulaciji u svim dimenzijama « ^ 4, i prema tome najviSe jedna od tih öuvenih hipoteza u topologiji je ispravna.

LITERATURA

[ 1 ] В r о w n, R. L. W., Imbeddings^ immersions and cobordism of differentiable manifolds^ Bull. AMS, 76 (1970), 763—766.

[ 2 ] С о h e n, M. M., Л general theory of relative regular neighborhoods. Trans. AMS, 136 (1969), 189—229.

[ 3 ] Crowell, R. H.; Fox, R. H., Introduction to knot theory. Ginn and Сотр., New York, 1963, 1—182.

[ 4 ] Edwards, С H. Jr., Unknotting polyhedral homology manifolds, Mich. Math. J., 15 (1968), 81—95.

[ 5 ] F a г г e 11, F. T. : H s i a n g, W. C, Я — cobordant manifofds are not necessarily homeomorphic. Bull. AMS, 73 (1967), 741—744.