Sur les espaces de voisinages localement connexes

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Etant que s^intVs, on aura

f ( s ) ef { iritVs ) C . mtf ( V^ ) c : intWf ( s ) c : Wf ( s ) .

L'ensemble Vs étant connexe dans (S, <т), son image continue / (Vs) est connexe dans (Г, t) et, par conséquent, contenue dans la composante connexe Г (/(5)) du point f(s) par rapport au voisinage Wf(s) de f(s). C'est pourquoi on aura

/ ( ^ ) Gint / ( F^ ) cintr ( / ( 5 ) ) C^ / ( ^ ) ,

c . à . d . les composantes connexes T(f(s)) dcf(s) par rapport aux voisinages Wf(s% constituent une base des voisinages du même point, ce qui signifie, vu la proposition 9, que l'espace (T, т) est localement connexe, c.q.f.d.

Remarquons que si A est un sous-ensemble ouvert dans (S, cr), alors la condition précédente signifie que son image / (A) est ouverte dans (Г, т) (la fonction / est alors une application continue ouverte et c'est justemert une condition suffisante dans le cas d'espaces topologiques).

Comme une conséquence immédiate on a:

Proposition 11. La propriété ,,être localement connexe'' est une priété topologique dans la catégorie d'espaces de voisinages.

Démonstration . En effet, soit f iS-^T une application de l'espace de voisinages (S, g) sur l'espace de voisinages (T, т) telle que f-^ (/ (x)) = x pour chaque x^S. Si / est continue et si la condition de la proposition 10 est satisfaite, alors / est un homéomorphisme (voir [2], § 6, Proposition 5). D'après la même proposition 10, cela signifie que ou bien tous les deux ces (5, a) et (Г, t) sont localement connexe ou bien aucun d'eux, c.q.f.d.

Passons maintenant à la recherche des conditions sous lesquelles un produit d'espaces de voisinages est localement connexe si les espaces ~ facteurs sont localement connexes (pour la définition du produit d'espaces de voisinages, voir [3] et [4]). On a tout d'abord la proposition suivante dans laquelle on décrit une propriété des composantes connexes des points du produit.

Proposition 12. Soit (S=Y1t^,t) le produit d'espaces de voisinages

( a )

( Га , Ta), a G (a), vérifiant Г axiome de distributivité. Le point g^S étant que soit Га (g(a)) la composante connexe du point g{ix)Ê.T<x dans Vespace (Г«, т^). Alors on a

S { g ) =Yl Га (g (a)) = П {T^a {g W) : aG(a)},

( a )

OÙ S (g) est la composante connexe du point g dans l'espace (5, t).

Démonstration . Les ensembles Г«(g(a)) étant connexes dans (Г«, т«), le produit Г1 Ta (f (oc)) est connexe dans (5, t). Supposons qu'il existe un ensemble

( a )

connexe HdS tel que

П7 ; ( ^ ( а ) ) сЯ .

( a )

Alors la projection /^^ЩУ^Н^сТа est un ensemble connexe dans (Г,, t«) et on aurait

/ « ( П7^аа ( а ) ) ) сЯ „

( a )