a : л у = 0. Теперь мы создадим множество Jtf в» {х : х е М) и определим частичное упорядочение Mr множества М:

X ^ у(Мг) о X ^ у{Мг).

Частично упорядоченное множество (71/, Mr) изоморфно частично доченному множеству (3/, Жг).

Нетрудно показать, что достаточно ограничиться решением задачи: Задача 1. Пусть (М^ Mr) — частично упорядоченное мно:нсество^ пусть элементы MHooicecmea M — попарно непересекающиеся непустые мно- ^нсества. Пусть всякому х е M сопоставлено частичное упорядочение Хг мно:н<:ества х, пусть N — У М^ пусть f — omoôpaotcenue мно:нсества N на мно:жество Л/, определенное соотношением

( а ) xf ^ у о X е у.

Найти все частично упорядоченные мноэи:ества (N^ Nr) такие^ что f является гомоморфизмом (N^ Nr) на (M, Mr) и что на всяком х е M частичные упорядочения Хг и Nr совпадают^ то есть:

и , V ех => (и ^ v(xr) о и S. Н^г))-

Остальные задачи мы сформулируем сразу этим образом.

Задача 2. Пусть (М^ Mr) — структура^ пусть все элементы M порарно непересекающиеся мноэи:ества. Пусть всякому х е M сопоставлено частич- ное упорядочение Хг такое^ что (х, Хг —) структура. Пусть N = \/ пусть f — отображение определенное соотношением (а). Найти все частично упорядоченные множества (N^ Nr) такие, что (N, Nr) — струк- ЩРО"! f — структурный гомоморфизм (N, Nr) на (М, Mr) и что на всяком X е M частичные упорядочения Хг и Nr совпадают.

Задача 3. Пусть (М, Mr) — полная структура, пусть элементы M — непустые попарно непересекающиеся MHo^fcecmea. Пусть всякому х е M сопоставлено частичное упорядочение Хг множества х такое, что (х, Хг) — полная структура. Пусть N = у М, пусть f — omoöpaofcenue опреде- ленное соотношением (а).

Найти все частично упорядоченные мноэ^сества (N, Nr) такие, что (N, Nr) — полная структура, что / — полный гомоморфизм (N, Nr) на (М, Mr) и что на всяком х е M частичные упорядочения Хг и Nr дают.

Мы условимся: Отображение / во всей статье есть отображение, деленное соотношением (а). Вместо х/мы будем писать и х. Потому всегда будет иметь место х ех, у е у и так далее.

26