Vëta Э. NecM Gp (^ ^ p < n) je totâlnë geodeticM varieta ve F„, definovand rovnicemi (1,1), pro kterou se neanuluje tensor Wab = B^Bpifj^ß v каЫеш jejim bodë, Potom varieta Gp je p-rozmérnou hlavni subvarietou prostoru F„.

Dùkaz : Ponëvadz podle predpokladu neni Wab väude v Gp roven nule, existujî V Gp body, kde aspoô jedna slozka tohoto tensoru je rùznâ od nuly. Ze spojitosti uvazované veliciny plyne рак, ze existuje celé okoH (obsahujfci uvazovany bod), kde je tato sloèka rùznâ od nuly.

Jakozto lilavnl smër v Gj, nazveme takovy smër w" v Gp, ktery vyhovuje rovnicîm

( Wab — ogab) ît« = 0 , (2,9)

kde

w , , ^BtBlKß , (2,10)

<T je skalâr v Gp. Rovnice (2,9) mùzeme téz psât ve tvaru

« — (^K) î^« = 0 , kde < ^ g'^^wj^a , (2,9)*

<5д je Kroneckerovo delta.

Charakteristickâ rovnice pfisluênâ systému rovnic (2,9)*, t. j. rovnice

Determinant [< — aè^] = 0 (2,10)

jest rovnici p-tého stupnë v cr s celkem p-reulnymi koreny (poeitâno i s jejich nâsobnosti) V kazdém z uvazovanych bodù variety Gp, Z teorie hlavnich smërû tensoru (reâlného) je znâmo, ze vzdy Ize najît p jednotkov^ch vzâjemnë kolmych vektorù u^, i = 1, ..., p (v pfipadë ze Oi jsou vesmës jednoduché

i

koreny rovnice (2,10), рак jednoznacnë) takovych, ze vyhovujî systému Tovnic (2,9) a platl pro ne

i ^ \ 1 pro г = 7 i ^ \ 1 pro г = ;

kde i, j probîhaji indexy 1, 2, ..., p.

Nech< u^ je jednîm z hlavnich smërù tensoru Wab v Gp, odpovidajici koïenu i <y charakteristîcké rovnice (2,10)^ Platî tedy pro tento smër

i

{ Wab — (ygab)u^==0, (2,12)

i i

kteryXto system rovnic mùëeme, vzhledem к (1,2), (2,10) psât ve tvaru

( А«д —cysr^^)t^«£f = 0, kde u^^Blu^. (2,13)

i i i %

Slozky w^ jsou tedy slozkami vektoru u"" ve F^. Z (2,13), (1,6) plyne

n i *=p+l ik к ' ' •

221