bei ganzen ki und beliebigem natürlichem n k^.gr^^ == 0 für alle i= 1,2, ...,n nach sich zieht. Der finite Charakter der Definition garantiert die Existenz eines maximalen D-unabhängigen Systems (von Null verschiedener Elemente), dessen Mächtigkeit aber im Allgemeinen kein Invariant der Gruppe G ist {Be- merkung 1). In einer nichttrivialen j9-primären Gruppe G(^) haben aber alle maximalen D-unabhängigen Systeme (kurz D-Systeme) dieselbe Mächtigkeit {Satz 1), die wir den D-Rang rj^(G(j,)) der Gruppe G(^) nennen; für G(^) = 0 definieren wir Tj){G(^)) == 0. Den D-Rang Vj){G) der allgemeinen abelschen Gruppe G definieren wir durch die Beziehung

hier ist P = ^P{j,) die direkte Zerlegung der maximalen periodischen Unter-

gruppe in ;p-primäre Komponenten und t{G) der Rang der Gruppe (im gewöhnlichen Sinne). Wenn die Gruppe G nichttrivial, d. h. von der gruppe verschieden, ist, so ist offenbar rj)(ö) > 0, ist die Gruppe G torsionsfrei, so ist Tj^{G) = r(ö).

Unter den D-Systemen der Gruppe G sind besonders wichtig die kanonischen D-Systeme, d. h. diejenigen D-Systeme, deren jedes Element entweder eine unendliche oder eine Primzahlpotenzordnung hat. Wenn ® ein kanonisches D-System der Gruppe G bedeutet, dann gilt die Gleichheit

m ( @ ) = Tj,{G) 1); (1)

im EaUe, daß г^,(о) endlich ist und irgend eine D-unabhängige Menge ® der Gleichheit (1) genügt, ist ® ein kanonisches D-System der Gruppe G {Satz 2 und Satz 3). Weiterhin gilt:

Satz 5. 5Ш = {G$)ôeA ^^^ ^^ System aller D-Systeme einer nichttrivialen Gruppe G; bezeichnen wir m(®^) = As für jedes ô e A. Dann hat die Menge A = = ßs)o€A ^^^ Kardinalzahlen А§ ein größtes Element À^^ und es ist Tj)(G) = À^^- Hierbei enthält die Menge Л gerade ein einziges Element Tj^{G), wenn und nur wenn im System Ш wenigstens ein unendliches D-System @^^ existiert, oder wenn die maximale aperiodische Untergruppe der Gruppe G p-primär oder trivial ist.

Satz 6. Es ist für die Untergruppe Л £G Tj){H) ^ rj){G) und für die direkte Summe G = 2'0, r^{ö) = 2 Ы&,).

Die Aussage, die im Hilfssatz 10 enthalten ist, ist besonders wichtig; mit ihrer Hilfe ist dann der Satz 8 bewiesen.

Hllfssatz 10. 9DÎ sei die Menge aller Lösungen x eG der Gleichung n .x = g^, "WO n natürlich und 0 ф ^^ € ö ist. Dann ist entweder ?Dî = 0 oder es ist für Tj){G) ^ ^ Щ т{Ш) ^ Tj){G) und für Tj^{G) < >?o ebenfalls m(aÄ) < Xo-

1 ) m( Ш) ist die Mächtigkeit der Menge Wl.

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