= ^(r) tvofi analytickou podgrupu Jp(f) grupy @ dimense т ^ 1, pfi cemz т nezâvisl na t. System takovychto mnozin ^{t) nazveme potom pripustnym systémem fadu t. Budtez ^(t) resp. £^(t), t^ -^ t -^ Г2, mnoziny, tvorici pripustné systémy mnozin stejného râdu т v prostoru X; oznacme K(r) resp. @(ï) podgrupu v ®, tvof enou vsemi ge®, pro nez Tg M{t) = m{i) resp. Tg 6^{t) = S^{i), Potom fîkâme, ze system M[i) je Z'krât diferencovatelny, jestlize system 9t(f) je 2-krât diferencovatelny. Dva aspoii r-krât diferencovatelné systémy podmnozin ^{i) resp. £^(t) majî v mnozine ^(^0)5 ^1 < ^0 < ^2» '^^y'^ ^àdu prâvë (alespoii) r-tého, jestlize systémy podgrup ^{t) resp. @(f) maji v 3fl(to) styk prâvë (alespoii) r-tého râdu.

3 . Styk Mivek v afinnîm prostoru. Abychom ukâzali oprâvnënost nasi definice^ ukâzeme nâsledujîcî vêtu:

V afinnîm prostoru A„ budtez dâny dvë aspon r-krât diferencovatelné krivky X = x{t), y = y(î), t^ s i s hyj^^ majîv bodé x(to), t^ < îq < ^2» styk prâvë r-tého râdu. Bud% Lieova grupa vsech regulârnich afinit prostoru A„ na sehe, 21"^ souvislâ komponentajejihojednotkového prvku, Bud%\i) = 2t^(x(t)) resp, ai°*(f) = ^^{y{i^ podgrupa vsech tëch afinit grupy 21, které zachovâvaji bod x{t) resp. y{t). Pak systémy Щt) = 'u%î) n St"^, §}I*(ï) = 2I^*(^) n Ш^ jsou aspon r-krât telné a majî V grupë 3((to) styk prâvë r-tého râdu. Tuto vêtu je mozno obrâtiti.

Dûkaz . V prostoru Ä„ zvolme afinnî system soufadnicovy, bod x{t) necht ma radnice [xi(^),..., x„(r)]. Pfedpoklâdâm tedy, ze funkce Xj(f), y,(f) jsou aspon r-krât diferencovatelné a

aie nenî

Lieova algebra grupy 21"^ je isomorfnî s vektoroyym prostorem J^, za jehoz basi mûzeme zvoliti vektory Ьф Ц v^^se zavedené. Lieova podalgebra, odpovîdajici pod- grupë 3l(f) resp. 2t*(r), je рак vektorov^ podprostor ^(t) resp. J^*(r), tvoreny vektory

^ü ( ^ ) = ^ij - ^i(0 L, resp. X?/r) = L,j - yj{t) L,, ï,; = 1,..., n .

Souradnice vektoru К^, Kfj jsou jednak konstanty, jednak tvaru Xi{t), yi{t), takze zâvër prvé câsti dûkazu je jiz jasny^. Uka^me sprâvnost vëty obrâcené. V prostoru ^^(t) zvolme basi

n n n

^ ? i ( 0 = E ^ij,kiKtiit) = X (^îjM^ki- E cCij^j,jyi{t)Lj,.

NecM nynî systémy ^{t) a ^%t) majî styk nultého râdu a nechf Х^/^о) = КЩ. Protoze mohu psâti

* ^ü ( ' ) = tSiJML,i-ts,^x,(t)L,,

190