Главным утверждением статьи является следующая теорема: При зовании только что введенных для кривой ср обозначений существует система J кривых Жордана для которой справедливо:

1 . Каоюдая из кривых % eJ имеет вид х = 9ti + ••• 4- <?>!„ {^де и ^ 1, f ^ h ^

2 . Каждое ср^ является частью одной и только одной из кривых % е J.

3 . Никакие две кривые ХъХг^'^ ^^ пересекаются существенно.

Если не требовать вьшолнения свойства 3 системы /, то утверждение весьма нетрудно доказать (индукцией по числу элементов множества Т). В статье система J (для каждой элементарной кривой ср) эффективно построена. Для описания хода построения необходимо ввести еще несколько понятий.

Пусть M — топологическая окружность (т. е. гомеоморфный образ ности), пусть {zi,..., Zq} — упорядоченнае множество q точек из М. Мы будем говорить, что это множество естественно упорядочено на М, если существует положительно ориентированная кривая Жордана fi (определенная в ром интервале <а, jS>) так, что [ju] = M, Zj = pi(ôj), 5^ < ... < ô^.

Пусть О)J (j = 1,..., ^) — простые кривые, определенные в <aj, jSj>, для торых o)j(aj) = z длА всех J, причем множества o}j{{pcj, ßj}) дизъюнктны. В статье доказывается (см. лемму 9), что для каждого г > О существует положительно ориентированная кривая Жордана ja, определенная, напр., в <0, 2л;>, так, что

1 . [cöj п M = {zj}, где Zj = o)j(yj), у J е (а,-, ßj), причем

2 . œj{<QCp yj)) с Int /i, o)j{(yp ßj}) cz Ext ß,

3 . диаметр [/x] меньше г,

4 . /i(0) = fi{27t) = Zg.

При тех же o)j, как указано выше, мы будем говорить, что множество q дуг {[<^i]'•••'E^J} естественно упорядочено, если существует положительно ориентированная кривая Жордана р со свойствами 1., 2. и 4. так, что q точек {zi,..., Zq} естественно упорядочено на ß. (В статье доказывается, что ное в определении условия не зависит от выбора кривой /i с приведенными свойствами.

Пусть (р — данная элементарная кривая; воспользуемся введенными вьппе обозначениями. В каждом интервале <^fe_i, ï^) возьмем две какие-либо точки -^ik-u -^ik так,чтобы ffc-i < -^гк"! < '^2к < h\ обозначим Asfe-i = (рКЧ-и Чк-гУ^ hk = ^М^гъ кУ, А = M (для и = 1,..., 2N). Тогда À„ будут простыми выми; каждые две из дуг Л„ имеют не больше одной общей точки (и эта точка — крайняя точка соответственных: кривых Л„).

Пусть Z е (р{Т); пусть Х„^ = Ä' (i = 1, ..., q) — в точности все кривые Х„, крайняя точка которых есть z. Напишем еще Л^ = [1% Я^ = 1% Л^ ^ Л^. Пусть областью определения кривой Я* будет интервал <а^, jß*>. Нумерацию проведем так, чтобы множество q дуг {Л^,..., Л^} было естественно упорядо- ченым. (Нетрудно убедиться, что это всегда можно сделать.) Итак, если взять

199