Ist G ein Gewebe, dann erklären wir für ihr Bezugssystem jedes Quadrupel (0, a, ß,y),v/o О e0^\v und a, ß,yel mit а ф jS Ф у Ф а ist.

Es sei G ein jGewebe und (0, a, j8, 7) ihr Bezugssystem. Dann ist die zulässige Algebra {M, 0,((Tc)içj, (+t)tej) eindeutig bestimmt, so daß M:=OVa\{V^}, J := I\{a, ß}; das ausgezeichnete Element aus J sei y, für jedes le J sckt^ : M -y M; X 1-^ {{xVß П OF,) F^ П OK) 7д П OF« und für alle a, b g M sei a*'' +, b = = {{aVß П OVy) F« П bV,) Vß П OF« (Abb. 1-2). Das Erfülltsein sämtlicher dingungen aus der Definition der zulässigen Algebra kann ohne Mühe verifiziert werden. Diese Algebra nennen wir die Koordinatenalgebra von G (bezüglich (0, a, ß, y)) und die Abbildung /x : M x M -> ^ \ t;; (a, b) i-> (aF^ П OF,) F« П bF^, die Koordinatenabbildung (bezüghch (0, a, jß, y)).

Abb . 1. Abb. 2. Abb. 3.

Es sei А = (M, О, ((T|)46j, ( + t)i6j), #M > 1, eine zulässige Algebra mit gezeichnetem Index 0. Dann bestimmen wir] ein Gewebe G folgendermaßen: / : = := J u {(Ol, 0)2}, wo {(»1, (»2} eine willkürliche zu J fremde zweielementige Menge, ^:=(M X M)uI,v:=I,^ := {{{x,y)\x = a} u («2} \аеМ} u{{(x,y)\y = = b} w {(yj I b e M} u {{(x, y)\y == x''^ +,c}u{i}\ceM, ce J}.

Es ist wieder nur Routinensache zu überprüfen, daß es sich wirkUch um ein be handelt. Wir nennen dieses G das Gewebe über A.

Es sei G ein Gewebe des Grades 3, wo / = {1, 2, 3}. Unter der Reidemeister- Bedingung in G verstehen wir die Implikation (Abb. 3):

( VP , ß, R, S, P\ Q\ R\ S'€0^\v)(P, ß,F2& Q,R,V,&

& Ä, S, F2 & P, S, Fl & P', ß', F2 & ß', Я', Fl &

& P, F, F3& ß, ß', F3& Ä, K', F3& S, S', F3 ^ R^^Vl^).

Lehrsatz 1. Es sei G еш Gewebe und (O, a, j8, y) irgendeines seiner Bezugssysteme. Dann ist -hl für ieI\[Qc,ß} genau dann assoziativ, wenn die Reidemeister- Bedingung in G^ßf_ erfüllt ist.

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