duas superficiei undarum partes ob earn caussam nonnisi certus finitusque numerus toigeuM^tm plft* norum communium apponi potest, quod primum aequationfs (4) membrum in quadraticos summandos complures sejungere licet, iique, ut satisfiat aequationi, singulatim debent evanescere.

Primum aequationem (4) homogeneam ad cosinus es зс, es X, es (л reddimus. Quia enim ф1, фз, ф, functiones lineares quadratorum es* зс,, cs^ X, es* {л sunt, in aequatione (4) summam, cujus quadratum ibi adest, functionem homogeneam secundi ordinis, quarti igitur quadratum ipsum esse colligitur. Membra contra inde subtrahenda tertiam dimensionem secundum quantitates illaö es* x, es* X, es* (л obtinent. Ergo ut homogenea fiat tota aequatio (4), terminis subtrahendis addimus factorem:

j es* к -f- es* X + es* [Л j =1

Qua re prima aequationis (4) pars, quam brevius ф {>c, X, p.) designamus, commutatur in banc formam:

Ф (îc, X, p.) = es* 3c (Ф, + фз)* + cs^ X (фз 4- фО* + CS* p. (ф, + ф,)*

+ 2cs*Xcs*|л{фз4-ф,){ф^+фJ + 2cs*p.cs*x(фl^-фa)(ф2+ф,)Ч-2cs*)ccs*X(ф,+фз)(^^

— 4 [es* % фа фз + CS* X фз ф^ Ч- CS* [Л ф^ фз] [es* к. -h CS* X -f- CS* [a] = j CS* x (Ф, + Фз)* + CS* X (Фз + Ф,)* + CS* (Л (ф, + ф,)*

} — 4cs*xфaфз —4С8*Хфзф^ —4С8*р.ф1ф2

+ < 2 с8*Хс8*[л(фз-Нф1) (ф,^-фa) + 2cs*(лcs*>c(ф, +-Ф,) (ф^+фз)+2с8*)сс8*Х(фа+-фз)(ф,-Нф1) j

1 - 4С8 * Хс8 * р , ( фзф , - Ьф , фа ) -4С8*(ЛС8*Х(ф,фа + фафз) —4С8*)СС8*Х(ф,фз + фзфО \

Combinando membra sibi supposita obtinetur:

CS * )C (Фз -Ь Фз)* — 4 CS* >с Фз Фз = CS* )С (Фз — Фз)*

2С8 * Хс8 * [ л ( фз + ф,)(ф, + ф,)-4С8*Хс8*р.(фзф,+ф,фз)=2С8*ХС8*р.(ф,^фз)(ф,--фз)

etc etc., ita ut pateat:

Singulis Uteris si denotamus dififerentias:

Ф , - Ф, == Д,, Фз — ф^ = д„ Ф, — Ф, = Д,

ita ut sit:

A , + Д, -Ь Дз = О, assequimur:

j ф (х, X, [i.) = CS* X Д^ H-esn Д; + CS* [/. Д| — 2 es'>. С8>. Д, Дз — 2 es'[/. es'к Д, Д^ - 2 es'я CS» X Д. Д, j

Quam expressionem ad summam complurium quadratorum redigemus, addito iterum factore illo : (es» x-l-CS» >. H-es'[/.). Nam fit primum:

ф ( ) 1 , Х , [ л ) = С8»)с[с8*хД»-|-С8*ХД» + С8*[лД»-2е8»ХС8>Д,Д,-2С8'[ЛС8»-ХД,Д,-2С8»ХС8»ХД,Д,] -+-C8'X[.........................................J

- + - cs'l^-f.........................................]

ubi tet repetitur prior functionis cp (x, X, (x) talor. Mutato deinde sigoo unius summandi i» quaque linea, scilicet summasdorum:

— 2cs»Xcs'a Д,Дз, — 2 es» [л es» x Д, Д,, — 2 es'x es» X Д, Д„