Die NuUsteUen der Lagu err eschen und Hermiteschen Polynome 221

Satz III: Ist n + ос < о, so existieren bei geradem n keine reellen Nullstellen, bei ungeradem n eine negative und ^-^^^^^ Paare konjugiert komplexer,

Ist n + oc^o, so gibt es n~[—oc] positive Nullstellen, dazu bei zahligem (x =—m die m -fache Nullstelle x~o, im Falle r = [— л] Ф — (x

bei ungeradem r eine negative und------Paare komplexer, bei geradem r

jedoch Paare komplexer.

Betrachtet man bei festem n die Nullstellen in Abhängigkeit von (X, so beobachtet man folgendes: Nähert sich (x von rechts dem Werte — i, so nähert sich die kleinste Nullstelle dem punkt und geht ins Negative, wenn (x in das Intervall {—i, —2) eintritt. Wird x gleich —2, so wird die negative Nullstelle wieder zu Null, und gleichzeitig rückt die nächste positive Nullstelle in den Nullpunkt. Wenn x den Wert —2 überschreitet, verzweigt sich die Doppelnullstelle ins Komplexe. Beide Zweige treffen sich im Nullpunkt, wenn oc = — 3 geworden ist. Es ist dort auch wieder eine der positiven Nullstellen angekommen, die nun negativ wird, während das komplexe Paar ins Komplexe geht. Das setzt sich so lange fort, bis alle Nullstellen durch Null ins Negative oder Komplexe gewandert sind. (Vgl. Figur 3 am Ende von § 6.)

Rechnerisch sieht das in den einfachsten Fällen so aus: Es ist

L2 , [Xy (x) = x^— 2(2 + a) л; + (2 + л) (i + (x), also wird Xi = 2 + x + У2 + x, Х2 = 2 + x — У2 + x, und man erhält die folgende Tabelle:

л о —I —1.5 —2 —2.5 ~3

Xi 34142 2 1.2071 о —0.5 + 0.7071^* —l+î*

^2 0.5858 о —0.2071 о —0.5 — 0.7071^* —i — i.

Ferner ist L^{x,x)== х^—3(3 + (^)х^ + 3{3 + ос){2 + х)х-{з + х){2 + (х){1 + х). Führt man hierin у = x ■— {3 + x) ein, so entsteht y^ — ЗУ (3 4- л) — 2 (3 + a) = о.

Diese Gleichung kann man in bekannter Weise auflösen. Ist x>~2, so ist die Diskriminante (3 + oc)^ — (3 + x)^ = (3 + x)^ (— 2 — л) < o. Es liegt der casus irreducibilis vor, man hat drei reelle NuUsteUen, während für x< — 2 immer zwei komplexe auftreten. Im einzelnen ist